Question

如圖，在正方形ABCD中，E是CD邊的中點(diǎn)，AC與BE相交于點(diǎn)F，連接DF．
（1）求證：∠1=∠2；
（2）連接AE，試判斷AE與DF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠BAF=45°，
在△ADF與△ABF中，，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴∠1=∠2；

（2）如圖：AE⊥DF．
設(shè)AE與DF相交于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD是正方形，E是DC的中點(diǎn)，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠2（已證），
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴∠AHD=90°，
∴AE⊥DF．
分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等，AB=AD，每一條對角線平分一組對角∠DAC=∠BAC，而AF是△ADF和△ABF的公共邊，所以兩三角形全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等即可證明；
（2）根據(jù)E是CD邊的中點(diǎn)，先證明△ADE和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等∠DAE=∠CBE，而∠2+∠CBE=90°，所以∠1+∠DAE=90°，所以AE⊥DF．
點(diǎn)評：本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理和全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．