Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=﹣x+4與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A的拋物線y=ax2+bx與直線y=﹣x+4交于另一點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1．

（1）求a，b的值；
（2）點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作PM//OB交第一象限內(nèi)的拋物線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥MC于點(diǎn)F，設(shè)PF的長(zhǎng)為t，MN的長(zhǎng)為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)S△ACN=S△PMN時(shí)，連接ON，點(diǎn)Q在線段BP上，過(guò)點(diǎn)Q作QR//MN交ON于點(diǎn)R，連接MQ、BR，當(dāng)∠MQR﹣∠BRN=45°時(shí)，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵y=﹣x+4與x軸交于點(diǎn)A，

∴A（4，0），

∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，且直線y=﹣x+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

∴B（1，3），

∵拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，3），

∴ ，解得： ，

∴a=﹣1，b=4；

（2）

解：方法一：

如圖，作BD⊥x軸于點(diǎn)D，延長(zhǎng)MP交x軸于點(diǎn)E，

∵B（1，3），A（4，0），

∴OD=1，BD=3，OA=4，

∴AD=3，

∴AD=BD，

∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，

∵M(jìn)C⊥x軸，∴∠ANC=∠BAD=45°，

∴∠PNF=∠ANC=45°，

∵PF⊥MC，

∴∠FPN=∠PNF=45°，

∴NF=PF=t，

∵∠PFM=∠ECM=90°，

∴PF//EC，

∴∠MPF=∠MEC，

∵M(jìn)E//OB，∴∠MEC=∠BOD，

∴∠MPF=∠BOD，

∴tan∠BOD=tan∠MPF，

∴ = =3，

∴MF=3PF=3t，

∵M(jìn)N=MF+FN，

∴d=3t+t=4t；

方法二：

延長(zhǎng)MP交x軸于點(diǎn)M′，作M′N(xiāo)′//MN交AB于N′，

延長(zhǎng)FP交M′N(xiāo)′于F′，∵M(jìn)′N(xiāo)′//MN，∴△PMN∽△PM′N(xiāo)′，

∴ ，∵O（0，0），B（1，3），

∴KOB=3，

∵PM//OB，

∴KPM=KOB=3，則lPM：y=3x+b，設(shè)P（p，﹣p+4），則b=4﹣4p，

∴l(xiāng)PM：y=3x+4﹣4P，把y=0代入，∴x= ，

∴M′（ ，0），

∵N′x=M′x，把x= 代入y=﹣x+4，

∴y= ，

∴N′（ ， ），∴M′N(xiāo)′= ，

∵PF′⊥M′N(xiāo)′，

∴PF′=p﹣ = ，

∴ ．

（3）

解：方法一：

如備用圖，由（2）知，PF=t，MN=4t，

∴S△PMN= MN×PF= ×4t×t=2t2，

∵∠CAN=∠ANC，

∴CN=AC，

∴S△ACN= AC2，

∵S△ACN=S△PMN，

∴ AC2=2t2，

∴AC=2t，

∴CN=2t，

∴MC=MN+CN=6t，

∴OC=OA﹣AC=4﹣2t，

∴M（4﹣2t，6t），

由（1）知拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x，

將M（4﹣2t，6t）代入y=﹣x2+4x得：

﹣（4﹣2t）2+4（4﹣2t）=6t，

解得：t1=0（舍），t2= ，

∴PF=NF= ，AC=CN=1，OC=3，MF= ，PN= ，PM= ，AN= ，

∵AB=3 ，

∴BN=2 ，

作NH⊥RQ于點(diǎn)H，

∵QR//MN，

∴∠MNH=∠RHN=90°，∠RQN=∠QNM=45°，

∴∠MNH=∠NCO，

∴NH//OC，

∴∠HNR=∠NOC，

∴tan∠HNR=tan∠NOC，

∴ = = ，

設(shè)RH=n，則HN=3n，

∴RN= n，QN=3 n，

∴PQ=QN﹣PN=3 n﹣ ，

∵ON= = ，

OB= = ，

∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，

∵PM//OB，

∴∠OBN=∠MPB，

∴∠MPB=∠BNO，

∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°，

∴∠BRN=∠MQP，

∴△PMQ∽△NBR，

∴ = ，

∴ = ，

解得：n= ，

∴R的橫坐標(biāo)為：3﹣ = ，R的縱坐標(biāo)為：1﹣ = ，

∴R（ ， ）．

方法二：設(shè)M（t，﹣t2+4t），N（t，﹣t+4），

∴MN=﹣t2+4t+t﹣4=﹣t2+5t﹣4，

∴PF= （﹣t2+5t﹣4），

∴S△PMN= （﹣t2+5t﹣4）2= （t﹣4）2（t﹣1）2，

∵KAB=﹣1，∴∠OAB=45°，

∴CA=CN=4﹣t，

∴S△ACN= （t﹣4）2，

∵S△ACN=S△PMN，

∴ （t﹣4）2（t﹣1）2= （t﹣4）2，

∴t1=﹣1，（舍），t2=3，

∴M（3，3），

∵M(jìn)X=NX=3，

∴N（3，1），

∴ON= ，

∵B（1，3），

∴OB= ，

∴OB=ON，∠OBN=∠ONB，

∵OB//MP

∴∠OBN=∠QPM，

∴∠ONB=∠QPM，∠RQA=45°，

∵∠MQR﹣∠BRN=45°，

∴∠BRN=∠MQP，

∴△BRN∽△MQP，

∴ ，

∵KPM=3，M（3，3），

∴l(xiāng)PM：y=3x﹣6，

∵lAB：y=﹣x+4，

∴P（2.5，1.5），

設(shè)R（3t，t），

∴Q（3t，﹣3t+4），

∴ ，

∴t1= ，t2= （舍），

∴R（ ， ）．

【解析】（1）利用已知得出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法得出a，b的值；（2）已知MN=d，PF=t，由圖可知MN=MF+FN，不妨將MF和FN用PF代替，即可得到MN與PF的關(guān)系：利用45°的直角三角形和平行線性質(zhì)可推得FN=PF=t，∠MPF=∠BOD，再利用tan∠BOD=tan∠MPF，得 = =3，從而有MF=3PF=3t，從而得出d與t的函數(shù)關(guān)系；（3）過(guò)點(diǎn)N作NH⊥QR于點(diǎn)H，由圖象可知R點(diǎn)橫坐標(biāo)為OC﹣HN，縱坐標(biāo)為CN﹣RH．OC=OA﹣AC，其中OA已知，利用S△ACN=S△PMN求得AC=2t，再將用t表示的M點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式求得t值，即得AC的值，又由（2）中AC=CN，可知CN，則求得HN和RH的值是關(guān)鍵．根據(jù)tan∠HNR=tan∠NOC，可得 = = ，設(shè)RH=n，HN=3n，勾股定理得出RN的值，再利用已知條件證得△PMQ∽△NBR，建立比例式求得n值，即可得出HN和RH的值，從而得到R的坐標(biāo)．