Question

【題目】問題的提出：

如果點是銳角內一動點，如何確定一個位置，使點到△ABC的三頂點的距離之和的值為最小？

（1）問題的轉化：

把繞點逆時針旋轉得到，連接，這樣就把確定的最小值的問題轉化成確定的最小值的問題了，請你利用圖1證明：．

（2）問題的解決：

當點到銳角的三頂點的距離之和的值為最小時，求的度數．

問題的延伸：

（3）如圖2所示，在鈍角中，，，，點是這個三角形內一動點，請你利用以上方法，求點到這個三角形各頂點的距離之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠AMB=120°；（3）．

【解析】

（1）證明△AMM'是等邊三角形，求出MM'=MA，結合MC=M'C'可得結論；

（2）當B、M、M'、C'在同一直線上時，MA+MB+MC的值為最小，此時∠AMM'=60°，故可得∠AMB=120°；

（3）根據題意作出輔助線，利用旋轉的性質求出，求得和的長，然后在中，利用勾股定理求出的長即可．

（1）如圖1，由旋轉的性質得：∠MAM'=60°，MA=M'A，

∴△AMM'是等邊三角形，

∴MM'=MA，

∵MC=M'C'，

∴MA+MB+MC=BM+MM′+M′C′；

（2）如圖2，把△AMC繞點A逆時針旋轉60度得到△AM′C′，連接MM′，由“問題的轉化”可知：當B、M、M'、C'在同一直線上時，MA+MB+MC的值為最小，

由（1）可知△AMM'是等邊三角形，則∠AMM'=60°，

∴∠AMB=120°；

（3）如圖3，把△AMC繞點A旋轉60度得到△AM′C′，且B、M、M'、C'在同一直線上，過點作延長線的垂線，垂足為，

由旋轉可得≌，則，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，則，

∴在中，，

∴，

∵點B、M、M'、C'在同一直線上，

∴在中，，

即點到這個三角形各頂點的距離之和的最小值為．