Question

已知方程組

y2=2x y=kx+1

有兩個不相等的解，
（1）求k的取值范圍．
（2）若方程的兩個實數(shù)解為

x=x1 y=y1

和

x=x2 y=y2

，是否存在實數(shù)k，使x₁+x₁x₂+x₂=1？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先把方程組轉化成一元二次方程，根據(jù)方程解的情況確定k的取值范圍；
（2）先假設存在，根據(jù)已知條件看能否求出符合條件的k值即可．

解答：解：原方程組可化為k²x²+2（k-1）x+1=0
（1）由題意可知：△=[2（k-1）]²-4k²=-8k+4＞0（k≠0）
∴k＜

1

2

且k≠0；

（2）∵x₁+x₂=-

2(k-1)

k2

•x1x2=

1

k2

∴x₁+x₁x₂+x₂=-

2(k-1)

k2

+

1

k2

=1
解得k₁=1＞

1

2

（舍去），k₂=-3
∴滿足條件的k值存在，k=-3．

點評：由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組的解的個數(shù)，可以轉化為利用一元二次方程的判別式來進行判斷．