Question

如圖，點C在BD上，在線段BD的同側作等邊△ABC和等邊△CDE，AD、BE相交于點F．

（1）求證：BE=AD；
（2）求∠AFB的度數；
（3）設BE與AC交于點M，CE與AD交于點N，連接MN，試判斷△MCN的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析;（2）∠AFB=60°;（3）△MCN是等邊三角形, 證明見解析.

試題分析：（1）證明線段相等的常用方法是三角形的全等,而包括線段BE和線段AD的三角形為△BCE和△ACD，下面就找全等的條件,因為△ABC和△CDE是等邊三角形，所以BC="AC,CE=CD," ∠ACB=∠DCE= 60°,所以∠ACE=60°, ∠BCE=∠ACD= 120°,所以在△BCE和△ACD中，BC="AC," ∠BCE=∠ACD CE=
CD,所以△BCE≌△ACD,所以BE="AD;" （2）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和,由題, ∠AFB是△BFD的一個外角,所以∠AFB=∠CBE+∠ADC,有(1)知△BCE≌△ACD,所以∠CBE=∠CAD,所以∠AFB
=∠CBE+∠ADC=∠CAD+∠ADC=∠ACB=60°(∠ACB是△ACD的一個外角);（3）直觀上看△MCN是等邊三角形,由(1)知∠MCN=60°,只要證明MC=NC,包含這兩條線段的三角形有△BCM和△ACN,由(2)知, ∠CBE=∠CAD,BC="AC," ∠ACB=∠ACN= 60°,所以△BCM≌△CAN,所以MC=NC.
試題解析：（1）∵△ABC和△CDE是等邊三角形，
∴BC="AC,CE=CD," ∠ACB=∠DCE= 60°,
∴∠ACE=60°, ∠BCE=∠ACD= 120°,
在△BCE和△ACD中，BC="AC," ∠BCE=∠ACD CE=CD,
∴△BCE≌△ACD,
∴BE="AD;"
（2）∠AFB是△BFD的一個外角,
∴∠AFB=∠CBE+∠ADC,
有(1)知△BCE≌△ACD,
∴∠CBE=∠CAD,
∴∠AFB=∠CBE+∠ADC=∠CAD+∠ADC=∠ACB=60°(∠ACB是△ACD的一個外角);
（3）由(2)知, 在△BCM和△CAN中,∠CBE=∠CAD,BC="AC," ∠ACB=∠ACN= 60°,
∴△BCM≌△CAN,
∴MC=NC,
由(1)知∠MCN=60°,
∴△MCN是等邊三角形