Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，矩形DEFG的頂點(diǎn)G與△ABC的頂點(diǎn)C重合，邊GD、GF分別與AC，BC重合。GD=12，GF=16，矩形DEFG沿射線CB的方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作射線QK⊥AB，交折線BC-CA于點(diǎn)H，矩形DEFG、點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，矩形DEFG也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)矩形DEFG、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）。（1）求線段DF的長(zhǎng)；
（2）求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，矩形DEFG與Rt△ABC重疊部分的面積s與t的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）；
（3）射線QK能否把矩形DEFG分成面積相等的兩部分？若能，求出t值，若不能，說(shuō)明理由；
（4）連接DH，當(dāng)DH∥AB時(shí)，請(qǐng)直接寫出t值。

Answer 1

（1）連接DF，在Rt△CDF中，CD=12，CF=16，根據(jù)勾股定理：
DF==20           
（2）①當(dāng)0＜t ≤2時(shí)，s=12×16=192   
②當(dāng)2＜t ＜6時(shí)，設(shè)矩形DEFG的邊EF交AB于點(diǎn)M，邊DE交AB于點(diǎn)N
∵  BF="24-4t" tanB=  
∴MF=(24-4t)=18-3t   EM=3t-6    NE=EM=4t-8
∴s=192-EM.EN=192-6    
③當(dāng)6≤t≤10時(shí),設(shè)DG與AB交于點(diǎn)M，BF="40-" 4t
s=MF.FB=    
(3)能,當(dāng)QK經(jīng)過(guò)矩形DEFG的對(duì)稱中心O時(shí),就可以把矩形DEFG分成面積相等的兩部分;                                                
∵在Rt△CDF與Rt△CAB中, ∠C=90°      
∴Rt△CDF∽R(shí)t△CAB   ∴∠CFD=∠B   ∴DF∥AB
DF=20,    OF=10   BF=24-4t  HF==   QB=5t
∴         
t=                   
(4) t=                

（1）由勾股定理即可求出DF的長(zhǎng)；
（2）分0＜t ≤2，2＜t ＜6，6≤t≤10三種情況進(jìn)行討論；
（3）連接DF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，由四邊形CDEF為矩形，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分，根據(jù)△HBF∽△CBA，對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求得t的值；
（4）當(dāng)PG∥AB時(shí)四邊形PHQG是矩形，由此可以直接寫出t．