Question

如圖，矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)AB=4，AD=2．翻折矩形紙片，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，
（1）在圖中，用尺規(guī)作折痕EF所在的直線（保留作圖痕跡，不寫作法），并求線段EF的長(zhǎng)；
（2）求∠EFC的正弦值．

Answer 1

分析：（1）作AC的垂直平分線即為EF，易得AC的值，利用∠1在不同直角三角形中的正切值可得EO的長(zhǎng)，乘以2即為EF的值；
（2）作EH⊥CD于H，∠EFC的正弦值=BC：EF，代入計(jì)算即可．

解答：解：（1）作圖正確（2分）
∵矩形ABCD，
∴∠B=90°，BC=AD．
∵在Rt△ABC中，AB=4，AD=2
∴由勾股定理得：AC=2

5

．（1分）
設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)O，
由翻折可得AO=CO=

5

，∠AOE=90°．
∵在Rt△ABC中，tan∠1=

BC

AB

，
在Rt△AOE中，tan∠1=

EO

AO

．
∴

EO

AO

=

BC

AB

，（1分）
∴EO=

5

2

．（1分）
同理：FO=

5

2

．
∴EF=

5

．（1分）

（2）過點(diǎn)E作EH⊥CD垂足為點(diǎn)H，（1分）EH=BC=2（1分）
∴sin∠EFC=

EH

EF

=

2

5

=

2 5

5

．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解直角三角形的知識(shí)；利用∠1在不同直角三角形中相同的正切值求解是解決本題的突破點(diǎn)．