Question

如圖，已知一次函數(shù)y=-

3

4

x+3的圖象與x軸，y軸分別相交于A，B兩點，點C在AB上以每秒1個單位的速度從點B向點A運(yùn)動，同時點D在線段AO上以同樣的速度從點A向點O運(yùn)動，運(yùn)動時間用t（單位：秒）表示．
（1）求AB的長；
（2）當(dāng)t為何值時，△ACD與△ABO相似？并直接寫出此時點C的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）當(dāng)x=0時，y=3；當(dāng)y=0時，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=

32+42

=5；

（2）依題意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO相似，
∴

AC

AB

=

AD

AO

，
代入得：

5-t

5

=

t

4

，
解得：t=

20

9

，
∴點C的橫坐標(biāo)也就是AO-AD=AO-t=4-

20

9

=

16

9

，
再把x=

16

9

帶入一次函數(shù)解析式，得y=

5

3

．
∴此時C（

16

9

，

5

3

）
若△ACD∽△AOB相似，

AD

AB

=

AC

AO

，

t

5

=

5-t

4

，
∴t=

25

9

，
AC=5-t=

20

9

，
再過C點做CE⊥OA于E，
然后△ACE∽ABO，

AE

AO

=

AC

AB

，
即

AE

4

=

20 9

5

，
解得AE=

16

9

，
∴OE=AO-AE=4-

16

9

=

20

9

，
而且又∵

CE

OB

=

AE

AO

，即

CE

3

=

16 9

4

．
解得CE=

4

3

．所以C（

20

9

，

4

3

）
∴C（

16

9

，

5

3

）或（

20

9

，

4

3

）