Question

已知：如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=7cm．兩個動點P、Q分別從B、C兩點同時出發(fā)，其中點P以1厘米/秒的速度沿著線段BC向點C運動，點Q以2厘米/秒的速度沿著線段CA向點A運動．
（1）P、Q兩點在運動過程中，經(jīng)過幾秒后，△PCQ的面積等于4厘米²？經(jīng)過幾秒后PQ的長度等于5厘米？
（2）在P、Q兩點在運動過程中，四邊形ABPQ的面積能否等于11厘米²？試說明理由．
（3）經(jīng)過幾秒時以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）若使其面積為4，即S_△PCQ=PC•QC=4，代入數(shù)據(jù)求解即可；
（2）若四邊形ABPQ的面積能否等于11，即S_△PCQ=-11=，建立方程，解方程看是否有解，若有，則存在；
（3）要使三角形相似，其對應(yīng)邊成比例即可．
解答：解：（1）可設(shè)經(jīng)x秒后其面積為4，
即×（5-x）×2x=4，
解得x=1，
即經(jīng)過1秒后，其面積等于4厘米²．
當(dāng)經(jīng)過t秒后PQ=5，
∵PC²+CQ²=PQ²，
∵PC=5-t，CQ=2t，PQ=5，
∴（5-t）²+（2t）²=5²，
解得：t=0或2，
∴當(dāng)經(jīng)過0秒或2秒后PQ=5；

（2）若四邊形ABPQ的面積能否等于11厘米²，即S_△PCQ=-11=，
即×（5-x）×2x=，
化簡得2x²-10x+13=0
△=b²-4ac=10×10-4×2×13＜0，
所以此方程無解．
故四邊形ABPQ的面積不能等于11厘米²．

（3）若兩個三角形相似，當(dāng)PQ∥AB，即=，
解得x=．
當(dāng)PQ不平行AB時，

解得：x=
即經(jīng)過或秒后兩三角形相似．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的面積問題，能夠熟練運用其性質(zhì)求解一些簡單的計算問題．