Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中點，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，連接DE

（1）求證：△ABC∽△CBD；
（2）求證：直線DE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∴∠BDC=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠BDC，

又∵∠B=∠B，

∴△BCD∽△BAC；

（2）

證明：連結(jié)DO，如圖，

∵∠BDC=90°，E為BC的中點，

∴DE=CE=BE，

∴∠EDC=∠ECD，

又∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，

∴∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，

∴DE⊥OD，

∴DE與⊙O相切．

【解析】（1）根據(jù)AC為⊙O的直徑，得出△BCD為Rt△，通過已知條件證明△BCD∽△BAC即可；
（2）連結(jié)DO，如圖，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，由∠BDC=90°，E為BC的中點得到DE=CE=BE，則利用等腰三角形的性質(zhì)得∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD，由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到DE與⊙O相切．
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．