Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，4），點(diǎn)B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，S_{四邊形OBAC}=16．
（1）∠COA的值為

45°

；
（2）求∠CAB的度數(shù)；
（3）如圖2，點(diǎn)M、N分別是x軸正半軸及射線OA上一點(diǎn)，且OH⊥MN的延長(zhǎng)線于H，滿足∠HON=∠NMO，請(qǐng)?zhí)骄績(jī)蓷l線段MN、OH之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）過A作AN⊥OC于N，AM⊥OB于M，得出正方形NOMA，根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠COA=

1

2

∠COB，代入求出即可；
（2）求出CN=BM，證△ANC≌△AMB，推出∠NAC=∠MAB，求出∠CAB=∠NAM，即可求出答案；
（3）求出∠HON=∠NMO=22.5°，延長(zhǎng)OH至點(diǎn)P使PH=OH，連接MP交OA于L，求出∠HON=∠NMO=∠LMN，求出OL=ML，證△OLP≌△MLN，推出MN=OP，即可得出答案．

解答：解：（1）過A作AN⊥OC于N，AM⊥OB于M，
則∠ANO=∠AMO=∠COB=90°，
∵A（4，4），
∴AN=AM=4，
∴四邊形NOMA是正方形，
∴∠COA=

1

2

∠COB=

1

2

×90°=45°．
故答案為：45°；                                               
（2）∵四邊形NOMA是正方形，
∴AM=AN=4，OM=ON=4，
∴

1

2

OC×AN+

1

2

OB×AM=16，
∴OC+OB=8=ON+OM，
即ON-OC=OB-OM，
∴CN=BM，
在△ANC和△AMB中，

AN=AM ∠ANC=∠AMB NC=MB

，
∴△ANC≌△AMB（SAS），
∴∠NAC=∠MAB，
∴∠CAB=∠CAM+∠MAB=∠NAM=360°-90°-90°-90°=90°，
即∠CAB=90°；
（3）MN=2OH，
證明：在Rt△OMH中，∠HON+∠NMO+∠NOM=90°，
又∵∠NOM=45°，∠HON=∠NMO，
∴∠HON=∠NMO=22.5°，
延長(zhǎng)OH至點(diǎn)P使PH=OH，連接MP交OA于L，
∴OM=MP，∠OMP=2∠OMN=45°，
∴∠HON=∠NMO=∠LMN，
∴∠OLM=90°=∠PLO，
∴OL=ML，
在△OLP和△MLN中，

∠PLO=∠NLM OL=LM ∠POL=∠LMN=22.5°

∴△OLP≌△MLN（ASA），
∴MN=OP，
∵OP=2HO，
∴MN=2HO．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．