Question

【題目】如圖，已知已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上一點(diǎn)A（4，0），拋物線頂點(diǎn)為E，它的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，直線y=﹣2x﹣1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B（﹣2，m）且與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)F．

（1）求m的值及該拋物線的解析式

（2）P（x，y）是拋物線上的一點(diǎn)，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若能，請直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 3 (2) P1（2+2，1）P2=（2﹣2，1），P3）2，1） (3) 存在

解：（1）∵點(diǎn)B（﹣2，m）在直線y=﹣2x﹣1上

∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=4﹣1=3，

所以，點(diǎn)B（﹣2，3），

又∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，

∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx，

∵點(diǎn)B（﹣2，3），A（4，0）在拋物線上，

，

解得 ．

∴拋物線的解析式為 ；

（2）∵P（x，y）是拋物線上的一點(diǎn)，

，

若S△ADP=S△ADC，

， ，

又∵點(diǎn)C是直線y=﹣2x﹣1與y軸交點(diǎn)，

∴C（0，﹣1），

∴OC=1，

∴| x2﹣x|=1，即x2﹣x=1，或x2﹣x=﹣1，

解得：x1=2+2 ，x2=2﹣2，x3=x4=2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 P1（2+2，1）P2=（2﹣2，1），P3）2，1）；

（3）結(jié)論：存在．

∵拋物線的解析式為y=x2﹣x，

∴頂點(diǎn)E（2，﹣1），對稱軸為x=2；

點(diǎn)F是直線y=﹣2x﹣1與對稱軸x=2的交點(diǎn)，∴F（2，﹣5），DF=5．

又∵A（4，0），

∴AE= ．

如右圖所示，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，依次出現(xiàn)四個(gè)菱形：

①菱形AEM1Q1．

∵此時(shí)EM1=AE=，

∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，

∴t1=4﹣；

②菱形AEOM2．

∵此時(shí)DM2=DE=1，

∴M2F=DF+DM2=6，

∴t2=6；

③菱形AEM3Q3．

∵此時(shí)EM3=AE=，

∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，

∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，

∴t3=4+；

④菱形AM4EQ4．

此時(shí)AE為菱形的對角線，設(shè)對角線AE與M4Q4交于點(diǎn)H，則AE⊥M4Q4，

∵易知△AED∽△M4EH，

，即 ，得 ，

∴DM4=M4E﹣DE= ﹣1= ，

∴M4F=DM4+DF=+5= ，

∴t4=．

綜上所述，存在點(diǎn)M、點(diǎn)Q，使得以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；時(shí)間t的值為：t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=．

【解析】試題分析：（1）將x=-2代入y=-2x-1即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線過點(diǎn)A、O、B即可求出拋物線的方程.

（2）根據(jù)題意，可知△ADP和△ADC的高相等，即點(diǎn)P縱坐標(biāo)的絕對值為1，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為 ，分別代入中求解，即可得到所有符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（3）由拋物線的解析式為 ，得頂點(diǎn)E（2，﹣1），對稱軸為x=2；

點(diǎn)F是直線y=﹣2x﹣1與對稱軸x=2的交點(diǎn)，求出F（2，﹣5），DF=5．

又由A（4，0），根據(jù)勾股定理得 ．然后分4種情況求解.