Question

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是射線CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），直線AE交直線BC于點(diǎn)G，∠BAE的平分線交射線BC于點(diǎn)O．
（1）如圖，當(dāng)CE=

2

3

時(shí)，求線段BG的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上時(shí)，設(shè)

CE

ED

=x，BO=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)CE=2ED時(shí)，求線段BO的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AD∥BC，我們可以得出關(guān)于AD、DE、CE、CG的比例關(guān)系式，已知了CD、AD、CD的值，那么就能求出DE的值，也就能求出CG的長(zhǎng)了，有了CG的長(zhǎng)，已知了BC的長(zhǎng)，那么就有了BG的長(zhǎng)．
（2）根據(jù)CE、DE的比例關(guān)系和CD的長(zhǎng)，我們不難表示出CE的長(zhǎng)，按（1）的方法我們可以得出CG的表達(dá)式，有了CG的長(zhǎng)，那么就能表示出BG的長(zhǎng)，在直角三角形ABG中，就能表示出AG的長(zhǎng)，如果我們過點(diǎn)O作OF⊥AG，垂足為點(diǎn)F，構(gòu)建一個(gè)和三角形ABG相似的三角形OFG（有一個(gè)公共角，有一組直角），我們可得出關(guān)于AB、AG、OF、OG的比例關(guān)系式．根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，我們可得出OF=OB=y，OG=BG-BO也不難表示出來，因此根據(jù)關(guān)于AB、AG、OF、OG的比例關(guān)系式可得出一個(gè)含x、y的函數(shù)關(guān)系式．
（3）分兩種情況，第一，O在線段BC上，這種情況同（2）可根據(jù)（2）的結(jié)果來得出OB的值．
第二種情況，O在BC的延長(zhǎng)線上，由AB∥DC我們可得出∠BAH=∠HAE=∠AHE，因此EH=AH，那么就有了EH的值，也就求出了CH的值，由AB∥DC，我們可得到一個(gè)關(guān)于AB、CH、CO、BO的比例關(guān)系式，因?yàn)镃O=BO-2，又求出了CH的值，已知了AB的值，因此可求出BO．

解答：解：（1）在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，CE=

2

3

，得DE=CD-CE=2-

2

3

=

4

3

，
又∵AD∥BC，即AD∥CG，
∴

CG

AD

=

CE

DE

=

1

2

，
得CG=1．
∵BC=2，
∴BG=3；

（2）當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上時(shí)，過點(diǎn)O作OF⊥AG，垂足為點(diǎn)F．
∵AO為∠BAE的角平分線，∠ABO=90°，
∴OF=BO=y．
在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴

CG

AD

=

CE

ED

=x．
∵AD=2，
∴CG=2x．
又∵

CE

ED

=x，CE+ED=2，
∴得CE=

2x

1+x

．
∵在Rt△ABG中，AB=2，BG=2+2x，∠B=90°，
∴AG=2

x2+2x+2

．
∵AF=AB=2，
∴FG=AG-AF=2

x2+2x+2

-2．
∵

OF

FG

=

AB

BG

，
即y=

AB

BG

•FG，
得y=

2 x2+2x+2 -2

x+1

．（x≥0）；

（3）當(dāng)CE=2ED時(shí)，

①當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上時(shí)如圖（1），即x=2，由（2）得OB=y=

2 10 -2

3

；
②當(dāng)點(diǎn)O在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2），CE=2DE=4，ED=2，在Rt△ADE中，AE=2

2

．
設(shè)AO交線段DC于點(diǎn)H，
∵AO是∠BAE的平分線，
∴∠BAH=∠HAE，
又∵AB∥CD，
∴∠BAH=∠AHE．
∴∠HAE=∠AHE．
∴EH=AE=2

2

．
∴CH=4-2

2

，
∵AB∥CD，
∴

CH

AB

=

CO

BO

，
∴

4-2 2

2

=

BO-2

BO

，得BO=2

2

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，本題中根據(jù)平行線得出線段的比例關(guān)系，然后用已知的線段或間接求出的線段來求出未知的線段是解題的思路．