Question

18．已知點M（0，1），N是拋物線y=x²-1上的一個動點，設(shè)MN=d，則d的最小值為$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)N（x，x²-1），作NA⊥y軸于A，則OA=x²-1，AN=x，MA=OM-OA=2-x²，由勾股定理和二次函數(shù)的最值得出d²的最小值=$\frac{7}{4}$，得出d有最小值為$\frac{\sqrt{7}}{2}$即可．

解答 解：設(shè)N（x，x²-1），
作NA⊥y軸于A，如圖所示：
則OA=x²-1，AN=x，
∴MA=OM-OA=2-x²，
由勾股定理得：d²=MN²=MA²+AN²=（2-x²）²+x²=x⁴-3x²+4=（x²-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
當(dāng)x²=$\frac{3}{2}$時，d²的最小值=$\frac{7}{4}$，
∴d的最小值為$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的最值；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征是解決問題的關(guān)鍵．