Question

命題：已知如圖所示，正方形ABCD的對角線的交點為O，E是AC上一點，AG⊥EB，垂足為G，AG交BD于F，則OE=OF．
（1）證明上述命題．

（2）對上述命題，若點E在AC的延長線上，AG⊥EB交EB的延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，其他條件不變，如圖所示，則結論“OE=OF”還成立嗎？若成立，請你證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵∠AFO+∠CAF=90°，∠AEB+∠CAF=90°，
∴∠AFO=∠AEB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO=OB，
又∵∠AOB=∠BOE=90°，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF；

（2）OE=OF．
證明：∵∠GBF+∠F=90°，∠OBE+∠E=90°，∠GBF=∠DBE（對頂角相等），
∴∠E=∠F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO=OB，
又∵∠AOB=∠BOE=90°，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF．
分析：（1）證OE=OF，關鍵是證明三角形AOF和BOE全等．已知的條件有一組直角，OA=OE（正方形的對角線相等，且互相垂直平分）只要再證得一組對應角相等即可得出三角形全等的結論，我們發(fā)現∠AFO和∠AEB都是∠CAF的余角，因此這兩個角相等，就構成了兩個三角形全等的條件，由此可得出兩三角形全等，進而得出OE=OF．
（2）還相等，證法和（1）相同也是證三角形AOF和BOE全等．
點評：本題主要考查了正方形的性質和全等三角形的判定，通過全等三角形來證線段相等是解此類題的基本方法．