Question

如圖，梯形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，上底AD平行于x軸，下底BC交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)C（4，-2），點(diǎn)D（1，2），BC=9，sin∠ABC=

4

5

．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-1，-1），動(dòng)點(diǎn)G從B出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著BC邊向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)G可以與點(diǎn)B或點(diǎn)C重合），求△HGE的面積S（S≠0）隨動(dòng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t′秒變化的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量t′的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，由四邊形ADCE是梯形，C（4，-2），點(diǎn)D（1，2）可知AF=2+2=4，再由sin∠ABC=

4

5

可求出AB的長(zhǎng)，由BC=9可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)A（x，2），利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出A點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；
（2）先根據(jù)BC兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出BE及CD的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)G在E點(diǎn)的左側(cè)與右側(cè)兩種情況得出△HGE的面積S（S≠0）隨動(dòng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t′秒變化的函數(shù)關(guān)系式即可．

解答：解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，
∵四邊形ADCE是梯形，C（4，-2），點(diǎn)D（1，2），
∴AF=2+2=4，
∵sin∠ABC=

4

5

，
∴AB=

AF

sin∠ABC

=

4

4 5

=5，
∵BC=9，C（4，-2），
∴B（-5，-2），
設(shè)A（x，2），
∴AB=

(x+5)2+(2+2)2

=5，解得x=-2或x=-8（舍去），
∴A（-2，2），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則

-2k+b=2 -5k+b=-2

，
解得

k= 4 3 b= 14 3

，
故直線AB的解析式為：y=

4

3

x+

14

3

；

（2）如圖2，
∵B（-5，-2），C（4，-2），
∴BE=5，CE=4，
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t′秒，
當(dāng)點(diǎn)G在E點(diǎn)左側(cè)時(shí)，
S_△HGE=

1

2

（5-t′）×1=

5

2

-

t′

2

（0≤t′＜5）；
當(dāng)點(diǎn)G在E點(diǎn)右側(cè)時(shí)，
S_△HGE=

1

2

（t′-5）×1=

t′

2

-

5

2

（t′＞5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到銳角三角函數(shù)的定義、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形的面積公式及梯形的性質(zhì)，在解答（2）時(shí)要注意分類討論，不要漏解．