Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A，B，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l：交BD于點(diǎn)E，連接BC的直線交直線l于K點(diǎn).

（1）問：在四邊形ABKD內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使它到四邊形ABKD四邊的距離都相等？

若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（2）若M，N分別為直線AD和直線l上的兩個動點(diǎn)，連結(jié)DN，NM，MK，如圖2，求DN+NM+MK和的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 四邊形ABCD內(nèi)部存在點(diǎn)P（2，）到四邊形ABCD四邊的距離相等；（2）8.

【解析】

（1）由拋物線解析式求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)，求直線BC解析式，把直線BC與直線l的解析式聯(lián)立方程組，求得的解為點(diǎn)K坐標(biāo)，因此求得AB=BK=KD=AD=4，即四邊形ABKD為菱形．由菱形性質(zhì)可知對角線平分一組對角，故對角線AK、BD交點(diǎn)E在菱形四個內(nèi)角的平分線上，所以點(diǎn)E到四邊距離相等，即為符合題意的點(diǎn)P．

（2）由菱形性質(zhì)可知點(diǎn)B、D關(guān)于直線AK對稱，故有DN=BN，所以當(dāng)點(diǎn)B、N、M在同一直線上時，DN+MN=BN+MN=BM最小．作點(diǎn)K關(guān)于直線AD對稱點(diǎn)Q，得MK=MQ，所以當(dāng)點(diǎn)Q、M、B在同一直線上時，BM+MK=BM+MQ=BQ最小，即BQ的長為DN+NM+MK的最小值．由AK平分∠DAB可求得點(diǎn)K到直線AD距離等于點(diǎn)K的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得KQ的長；再由BK∥AD得∠BKQ=∠DRQ=90°，利用勾股定理即求得BQ的長．

（1）在四邊形ABKD內(nèi)部存在點(diǎn)P到四邊形ABKD四邊的距離都相等．

當(dāng)y=0時，

解得：x1=-1，x2=3

∴A（-1，0），B（3，0），AB=4

∵

∴頂點(diǎn)C（1，-2）

∵點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)

∴D（1，2），

設(shè)直線BC解析式為y=bx+c

∴, 解得：

∴直線BC：

∵,解得：

∴K（5，2）

∴，DK∥x軸，DK=5-1=4

∴AB=BK=DK=AD=4

∴四邊形ABKD是菱形

∴對角線AK、BD平分一組對角，

∴AK、BD交點(diǎn)E（1，）到菱形四邊距離相等

∴點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時，即符合題意的點(diǎn)

∴在四邊形ABKD內(nèi)部存在點(diǎn)P（1，）到四邊形ABKD四邊的距離都相等．

（2）過點(diǎn)K作KF⊥x軸于點(diǎn)F，作點(diǎn)K關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)Q，KQ與直線AD相交于點(diǎn)R，連接MQ、QB、NB

∵菱形ABKD中，AK與BD互相垂直平分

∴點(diǎn)B、D關(guān)于直線AK對稱

∴DN=BN

∴當(dāng)點(diǎn)B、N、M在同一直線上時，DN+NM=BN+NM=BM最小

∵點(diǎn)K、Q關(guān)于直線AD對稱

∴KQ⊥AD，QR=KR，MK=MQ

∴當(dāng)點(diǎn)Q、M、B在同一直線上時，BM+MK=BM+MQ=BQ最小

∴BQ的長為DN+NM+MK的最小值

∵AK平分∠DAB，KF⊥AB，KR⊥AD，yK=2

∴KF=KR=2

∴KQ=2KR=4

∵BK∥AD

∴∠BKQ=∠DRQ=90°

∴Rt△BKQ中，BQ=

∴DN+NM+MK和的最小值為8．