Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，P是CD邊上的一點(diǎn)，AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA．
（1）判斷△APB是什么三角形，證明你的結(jié)論；
（2）比較DP與PC的大��；
（3）畫(huà)出以AB為直徑的⊙O，交AD于點(diǎn)E，連接BE與AP交于點(diǎn)F，若tan∠BPC=

4

3

，求tan∠AFE的值．

Answer 1

分析：（1）可通過(guò)角的度數(shù)來(lái)判斷三角形APB的形狀．由于ABCD是平行四邊形，AD∥BC，那么同旁內(nèi)角∠DAB和∠CBA的和應(yīng)該是180°，AP，BE平分∠DAB，∠ABP，于是∠PAB和∠ABP的和就應(yīng)該是90°，即∠APB=90°，因此可得出三角形APB的形狀．
（2）可通過(guò)平行和角平分線，通過(guò)等角對(duì)等邊得出DP=AP，同理可證出PC=BC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，AD=BC，可得出DP=PC．
（3）由AB為圓的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠AEB=∠APB=90°，又AP為角平分線，根據(jù)角平分線定義得到一對(duì)角相等，根據(jù)兩對(duì)角相等的兩三角形相似，得到三角形AEF與三角形APB相似，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)角相等，又平行四邊形的對(duì)邊AB與DC平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，等量代換得到∠AFE與∠BPC相等，即可求出所求∠AFE的正切值．

解答：解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°；
又∵AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA
∴∠PAB=

1

2

∠DAB，∠PBA=

1

2

∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=

1

2

（∠ABC+∠DAB）
=

1

2

×180°=90°，
∴△APB是直角三角形；

（2）∵DC∥AB，
∴∠BAP=∠DPA．
∵∠DAP=∠PAB，
∴∠DAP=∠DPA，
∴DA=DP
同理證得CP=CB．
∴DP=PC．

（3）∵AB是⊙O直徑，
∴∠AEB=∠APB=90°．
∵AP為角平分線，即∠EAF=∠PAB，
∴△AEF∽△APB，
∴∠AFE=∠ABP，
又ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，
∴∠ABP=∠BPC，
∵tan∠BPC=

4

3

，
∴tan∠AFE=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時(shí)，一般可構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解題．充分利用平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．