Question

如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點D在線段AC上，M是線段BE的中點，N是線段AD的中點．
（1）連接BD，AE，求證：△BCD≌△ACE；
（2）猜想圖1中的MN與OM的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果）；
（3）將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）（備用圖2）后，其他條件不變，（2）中的結(jié)論仍然成立嗎？若是，畫出圖形并證明；若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB為圓O的直徑，得到∠ACB為直角，再由∠ABC=45°，得到△ABC為等腰直角三角形，即AC=BC，利用SAS得出△BCD與△ACE全等即可；
（2）MN=

2

OM，理由為：連接ON，延長BD交AE于F，先證明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，則∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位線的性質(zhì)得到ON=

1

2

BD，OM=

1

2

AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；
（3）結(jié)論仍然成立，證明的方法和（2）一樣．

解答：解：（1）∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴AC=BC，
∵在△BCD和△ACE中，

BC=AC ∠ACB=∠ACE=90° DC=DE

，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；

（2）MN=

2

OM，理由為：連接ON，延長BD交AE于F，如圖1所示，
∵在△BCD和△ACE中，

BC=AC ∠ACB=∠ACE=90° DC=DE

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF⊥AE，
又∵M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，而O為AB的中點，
∴ON=

1

2

BD，OM=

1

2

AE，ON∥BD，AE∥OM；
∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，
∴MN=

2

OM；

（3）結(jié)論仍然成立，即MN=

2

OM，
畫出正確圖形，如圖2所示，連接BD，AE，ON，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴AC=BC，
∵在△BCD和△ACE中，

BC=AC ∠ACB=∠ACE=90° DC=DE

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD，∠DBE=∠EAC，
∴∠DBE+∠BEA=90°，
∴BD⊥AE，
∵O，N為中點，
∴ON∥BD，ON=

1

2

BD，
同理OM∥AE，OM=

1

2

AE，
∴OM⊥ON，OM=ON，
∴MN=

2

OM．

點評：本題考查了直徑所對的圓周角為直角和三角形中位線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是一道綜合性較強的探究題．