Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，F(xiàn)是CE上的一點，且FC=FA，延長AF交⊙O于G，連接CG．
（1）試判斷△ACG的形狀（按邊分類），并證明你的結(jié)論；
（2）若⊙O的半徑為5，OE=2，求CF•CD之值．

Answer 1

解：（1）△ACG是等腰三角形．
證明如下：
∵CD⊥AB，∴．
∴∠G=∠ACD，
∵FC=FA，
∴∠ACD=∠CAG，
∴∠G=∠CAG，
∴△ACG是等腰三角形．

（2）連接AD，BC，
由（1）知，
∴AC=AD．
∴∠D=∠ACD，
∴∠D=∠G=∠CAG，
又∵∠ACF=∠DCA，
∴△ACF∽△DCA，
∴AC：CD=CF：AC，
即AC²=CF•CD，
∵CD⊥AB，
∴AC²=AE²+CE²=（5-2）²+（5²-2²）=30．
∴CF•CD=30．
分析：（1）△ACG是等腰三角形，只要證明∠G=∠CAG，可以轉(zhuǎn)化為證明=即可．
（2）連接AD，BC，易證△ACF∽△DCA，得到AC：CD=CF：AC，即AC²=CF•CD．再根據(jù)垂徑定理得到AC²=AE²+CE²就可以求出．
點評：證明等腰三角形可以依據(jù)等角對等角證明；第二問中利用了相似三角形的性質(zhì)和垂徑定理的推論．