Question

如圖，一條拋物線經(jīng)過原點，且頂點B的坐標（1，-1）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設該拋物線與x軸正半軸的交點為A，求證：△OBA為等腰直角三角形；
（3）設該拋物線的對稱軸與x軸的交點為C，請你在拋物線位于x軸上方的圖象上求兩點E、F，使△ECF為等腰直角三角形，且∠ECF=90°．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）²-1，將O（0，0）點坐標代入拋物線解析式即可；
（2）先求出A點坐標，再根據(jù)勾股定理OB²+AB²=OA²即可證明△OBA為等腰直角三角形；
（3）過C作CE∥BO，CF∥AB，找出等腰直角三角形△ECF，再根據(jù)已知條件取出E、F兩點坐標．

解答：（1）解：由題意，設拋物線的解析式為y=a（x-1）²-1，
則0=a（0-1）²-1，
∴a=1．（2分）
∴y=（x-1）²-1，
即y=x²-2x．（3分）

（2）證明：當y=0時，x²-2x=0解得x=0或x=2．
∴A（2，0）（4分）
又B（1，-1），O（0，0），
∴OB²=2，AB²=2，OA²=4．
∴OB²+AB²=OA²
∴∠OBA=90°，且OB=BA．
∴△OBA為等腰直角三角形．（6分）

（3）解：如圖，過C作CE∥BO，CF∥AB，分
別交拋物線于點E、F，過點F作FD⊥X軸于D，
則∠ECF=90°，EC=CF，F(xiàn)D=CD．
∴△ECF為等腰直角三角形．（7分）
令FD=m＞0，則CD=m，OD=1+m
∴F（1+m，m）（8分）
∴m=（1+m）²-2（1+m），
即m²-m-1=0．解得m=

1± 5

2

∵m＞0，
∴m=

1+ 5

2

．
∴F（

3+ 5

2

，

1+ 5

2

）．
∵點E、F關于直線x=1對稱，
∴E=（

1- 5

2

，

1+ 5

2

）．（10分）

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，題中涉及等腰直角三角形的證明和性質(zhì)等知識點，解題時要注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想的運用，是各地中考的熱點和難點，同學們要加強訓練，屬于中檔題．