Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，E是BD上的一點，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，點G是BC、AE延長線的交點，AG與CD相交于點F．
（1）求證：四邊形ABCD是正方形；
（2）當AE=2EF時，判斷FG與EF有何數量關系？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，

∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，

∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，

∴∠CBE=∠ABE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，

∴∠CBE=∠ABE=45°，

∴△ABD與△BCD是等腰直角三角形，

∴AB=AD=BC=CD，

∴四邊形ABCD是正方形

（2）解：當AE=2EF時，F(xiàn)G=3EF．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，

∵AE=2EF，

∴BE：DE=AE：EF=2，

∴BG：AD=BE：DE=2，

即BG=2AD，

∵BC=AD，

∴CG=AD，

∵△ADF∽△GCF，

∴FG：AF=CG：AD，

即FG=AF=AE+EF=3EF

【解析】（1）由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性質，即可得∠CBE=∠ABE，又由四邊形ABCD是矩形，即可證得△ABD與△BCD是等腰直角三角形，繼而證得四邊形ABCD是正方形；（2）由題意易證得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得FG=3EF．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解矩形的性質的相關知識，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等，以及對正方形的判定方法的理解，了解先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角．