Question

【題目】如圖，在梯形中，， 是腰上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不含點(diǎn))，作交于點(diǎn)(如圖1)

求:（1）BC的長(zhǎng)和梯形的面積；

（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(如圖2)

（3）設(shè)試求出關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域

Answer 1

【答案】（1），；；（2）；（3），

定義域?yàn)?/span>()

【解析】

（1）過B作BH⊥CD于H，在Rt△BHC中，根據(jù)BH（即AD）的長(zhǎng)及∠C的正切值，可求得CH的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)；得到CH的長(zhǎng)，由CD=DH+CH=AB+CH即可得到CD的長(zhǎng)，根據(jù)梯形的面積公式可求出梯形ABCD的面積；
（2）當(dāng)PQ=DQ時(shí)，連接AQ，易證得△ADQ≌△APQ，則AD=AP=4；過P作PE⊥AB于E，不難得出∠C=∠PBE；可根據(jù)∠PBE的正切值，用未知數(shù)表示出BE、PE的長(zhǎng)，進(jìn)而在Rt△APE中，由勾股定理求得未知數(shù)的值，進(jìn)而可在Rt△BPE中求出BP的長(zhǎng)；
（3）過P作PF⊥CD于F，由于∠APQ=90°，易證得△AEP∽△PFQ，根據(jù)得到的比例線段即可用表示出QF的長(zhǎng)，進(jìn)而可在Rt△PFC中，根據(jù)∠C的正切值用表示出CF的長(zhǎng)；由CQ=QF+CF即可得到的函數(shù)關(guān)系式．

（1）作BH⊥CD，垂足為H，

則四邊形ABHD為矩形；
∴BH=DA=4，DH=AB=2；
在Rt△BCH中，，
∴，

∴；

又CD=CH+DH=5，
∴；

（2）連接AQ，
由DQ=PQ，可知△ADQ≌△APQ，AP=AD=4；
作PE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
在Rt△BPE中，，

令BE=3k，PE=4k，
則在Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，
即，解得：，

∴；

（3）作PF⊥CD交CD于點(diǎn)F，

∵，

由(2)得：，，，

∴，，，，
由∠AEF=∠EFD=∠APQ=90°，

∴∠APE+∠PAE=90°，∠APE +∠QPF=90°，

∴∠PAE=∠QPF，
∴△AEP∽△PFQ；

∴，即，

化簡(jiǎn)得：，

又，

∴；

定義域?yàn)?/span>() ．