Question

在某市開展的環(huán)境創(chuàng)優(yōu)活動(dòng)中，某居民小區(qū)要在一塊靠墻（墻長(zhǎng)15米）的空地上修建一個(gè)矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍成，若設(shè)花園平行于墻的一邊長(zhǎng)為x（m），花園的面積為y（m²）．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）滿足條件的花園面積能達(dá)到200m²嗎？若能，求出此時(shí)x的值，若不能，說(shuō)明理由；
（3）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)關(guān)系式，判斷當(dāng)x取何值時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)花園靠墻的一邊長(zhǎng)為x（m），另一邊長(zhǎng)為

40-x

2

，用面積公式表示矩形面積；
（2）就是已知y=200，解一元二次方程，但要注意檢驗(yàn)結(jié)果是否符合題意；即結(jié)果應(yīng)該是0＜x≤15．
（3）由于0＜x≤15，對(duì)稱軸x=20，即頂點(diǎn)不在范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大．∴x=15時(shí)，y有最大值．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：y=x•

40-x

2

，
即y=-

1

2

x²+20x（0＜x≤15）
（2）當(dāng)y=200時(shí)，即-

1

2

x²+20x=200，
解得x₁=x₂=20＞15，
∴花園面積不能達(dá)到200m²．
（3）∵y=-

1

2

x²+20x的圖象是開口向下的拋物線，對(duì)稱軸為x=20，
∴當(dāng)0＜x≤15時(shí)，y隨x的增大而增大．
∴x=15時(shí)，y有最大值，
y_最大值=-

1

2

×15²+20×15=187.5m²
即當(dāng)x=15時(shí)，花園的面積最大，最大面積為187.5m²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)際問題中二次函數(shù)解析式的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．