Question

（2012•和平區(qū)一模）在平面直角坐標系中，已知點O為坐標原點，點A（0，4）．△AOB是等邊三角形，點B在第一象限．
（Ⅰ）如圖①，求點B的坐標；
（Ⅱ）點P是x軸上的一個動點，連接AP，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，把△AOP逆時針旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得△ABD．
①如圖②，當點P運動到點（

3

，0）時，求此時點D的坐標；
②求在點P運動過程中，使△OPD的面積等于

3

4

的點P的坐標（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析：（I）過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點B的坐標．
（II）①由△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，證明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數(shù)求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出點D的坐標．
②本題分三種情況進行討論，設(shè)點P的坐標為（x，0）：第一種情況：當點P在x軸正半軸上時，第二種情況：當P在x軸負半軸，OP＜

4 3

3

時，第三種情況：當點P在x軸的負半軸上，且OP≥

4 3

3

時，此時點D在x軸上或第四象限．綜合上面三種情況即可求出符合條件的值．

解答：解：（Ⅰ）如圖①，過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F，
∵△AOB是等邊三角形，OA=4，
∴BF=OE=2．
在Rt△OBF中，
由勾股定理，得OF=

OB2-BF2

=2

3

．
∴點B的坐標為（2

3

，2）．     
                  
（Ⅱ）①如圖②，過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F，過點D作DH⊥x軸于點H，
延長EB交DH于點G．
則BG⊥DH．
∵△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，
∴△ABD≌△AOP．
∴∠ABD=∠AOP=90°，BD=OP=

3

．
∵△AOB是等邊三角形，
∴∠ABO=60°．
∵BE⊥OA，
∴∠ABE=30°，∴∠DBG=60°，∠BDG=30°．
在Rt△DBG中，BG=

1

2

DB=

1

2

OP=

1

2

3

．
∵sin60°=

DG

DB

，∴DG=DB•sin60°=

3

×

3

2

=

3

2

．
∴OH=2

3

+

1

2

3

=

5

2

3

．DH=2+

3

2

=

7

2

．
∴點D的坐標為（

5

2

3

，

7

2

）．     
             
②點P的坐標分別為（

21 -2 3

3

，0）、（-

3

3

，0）、（-

3

，0）、
（

- 21 -2 3

3

，0）．
假設(shè)存在點P，在它運動過程中，使△OPD的面積等于

3

4

．
設(shè)OP=x，下面分三種情況討論．
第一種情況：
當點P在x軸正半軸上時，如圖③，BD=OP=x，
在Rt△DBG中，∠DBG=60°，
∴DG=BD•sin60°=

3

2

x．
∴DH=2+

3

2

x．
∵△OPD的面積等于

3

4

，
∴

1

2

x•(2+

3

2

x)=

3

4

，

3

x2+4x-

3

=0．
解得：x1=

-2 3 + 21

3

，x2=

-2 3 - 21

3

（舍去）．
∴點P₁的坐標為（

21 -2 3

3

，0）．
第二種情況：
當點P在x軸的負半軸上，且OP＜

4 3

3

時，此時點D在第一象限，如圖④，
在Rt△DBG中，∠DBG=30°，BG=BD•cos30°=

3

2

x．
∴DH=GH=2-

3

2

x．
∵△OPD的面積等于

3

4

，
∴

1

2

x•(2-

3

2

x)=

3

4

，

3

x2-4x+

3

=0．
解得：x1=

3

3

，x2=

3

．
∴點P₂的坐標為（-

3

3

，0）．點P₃的坐標為（-

3

，0）．
第三種情況：
當點P在x軸的負半軸上，且OP≥

4 3

3

時，此時點D在x軸上或第四象限，如圖⑤，
在Rt△DBG中，∠DBG=60°，
∴DG=BD•sin60°=

3

2

x．
∵△OPD的面積等于

3

4

，
∴

1

2

x•(

3

2

x-2)=

3

4

，

3

x2-4x-

3

=0．
解得：x1=

2 3 + 21

3

，x2=

2 3 - 21

3

（舍去）．
∴點P₄的坐標為（

- 21 -2 3

3

，0）．
綜上所述，點P的坐標為：P₁（

21 -2 3

3

，0）、P₂（-

3

3

，0）、P₃（-

3

，0）、P₄（

- 21 -2 3

3

，0）．

點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)于動點問題，注意分類討論解答．