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        1. (2013•懷柔區(qū)一模)已知關(guān)于x的方程kx2+(3k+1)x+3=0.
          (1)求證:無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí),方程總有實(shí)數(shù)根;
          (2)若二次函數(shù)y=kx2+(3k+1)x+3的圖象與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù),且k為正整數(shù),求k值;
          (3)在(2)的條件下,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M,直線y=-2x+9與y軸交于點(diǎn)C,與直線OM交于點(diǎn)D.現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點(diǎn)在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點(diǎn)C)只有一個公共點(diǎn),求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍.
          分析:(1)分k=0時(shí),方程為一元一次方程,有解,k≠0時(shí),表示出根的判別式,再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷出△≥0,得到一定有實(shí)數(shù)根;
          (2)令y=0,解關(guān)于x一元二次方程,求出二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)求出k值為1;
          (3)先根據(jù)(2)中的k值寫出二次函數(shù)解析式并整理成頂點(diǎn)式形式,然后寫出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后寫出直線OP的解析式,再根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,
          1
          2
          h),然后寫出拋物線的頂點(diǎn)式形式為y=(x-h)2+
          1
          2
          h,再分①拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線求出h的值,再根據(jù)函數(shù)圖象寫出h的取值范圍;②直線與拋物線只有一個交點(diǎn)時(shí),聯(lián)立直線與拋物線解析式消掉未知數(shù)y,利用根的判別式△=0列式求出h的值,然后求出交點(diǎn)坐標(biāo),從而得解.
          解答:(1)證明:①當(dāng)k=0時(shí),方程為x+3=0,所以x=-3,方程有實(shí)數(shù)根,
          ②當(dāng)k≠0時(shí),△=(3k+1)2-4k•3,
          =9k2+6k+1-12k,
          =9k2-6k+1,
          =(3k-1)2≥0,
          所以,方程有實(shí)數(shù)根,
          綜上所述,無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí),方程總有實(shí)數(shù)根;

          (2)令y=0,則kx2+(3k+1)x+3=0,
          解關(guān)于x的一元二次方程,得x1=-3,x2=-
          1
          k

          ∵二次函數(shù)的圖象與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù),且k為正整數(shù),
          ∴k=1;

          (3)由(2)得拋物線的解析式為y=x2+4x+3,
          配方得y=(x+2)2-1,
          ∴拋物線的頂點(diǎn)M(-2,-1),
          ∴直線OD的解析式為y=
          1
          2
          x,
          于是設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,
          1
          2
          h),
          ∴平移后的拋物線解析式為y=(x-h)2+
          1
          2
          h,
          ①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),令x=0,則y=9,
          ∴C(0,9),
          ∴h2+
          1
          2
          h=9,
          解得h=
          -1±
          145
          4

          ∴當(dāng) 
          -1-
          145
          4
          ≤h<
          -1+
          145
          4
          時(shí),平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點(diǎn);
          ②當(dāng)拋物線與直線CD只有一個公共點(diǎn)時(shí),
          由方程組
          y=(x-h)2+
          1
          2
          h
          y=-2x+9

          消掉y得,x2+(-2h+2)x+h2+
          1
          2
          h-9=0,
          ∴△=(-2h+2)2-4(h2+
          1
          2
          h-9)=0,
          解得h=4,
          此時(shí)拋物線y=(x-4)2+2與射線CD唯一的公共點(diǎn)為(3,3),符合題意,
          綜上所述:平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點(diǎn)時(shí),頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍是h=4或
          -1-
          145
          4
          ≤h<
          -1+
          145
          4
          點(diǎn)評:本題是二次函數(shù)的綜合題型,主要考查了根的判別式,二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題,二次函數(shù)與不等式的關(guān)系,(3)根據(jù)CD是射線,要分情況討論.
          練習(xí)冊系列答案
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          (1)求證:∠PCB=∠A; 
          (2)求證:PC是⊙O的切線;
          (3)若點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn),CM交AB于點(diǎn)N,求證:AM2=MN•MC.

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          80°
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