Question

（2013•濰坊）為了改善市民的生活環(huán)境，我市在某河濱空地處修建一個(gè)如圖所示的休閑文化廣場(chǎng)，在Rt△ABC內(nèi)修建矩形水池DEFG，使定點(diǎn)D，E在斜邊AB上，F(xiàn)，G分別在直角邊
BC，AC上；又分別以AB，BC，AC為直徑作半圓，它們交出兩彎新月（圖中陰影部分），兩彎新月部分栽植花草；其余空地鋪設(shè)瓷磚，其中AB=24

3

米，∠BAC=60°，設(shè)EF=x米，DE=y米．
（1）求y與x之間的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，矩形DEFG的面積最大？最大面積是多少？
（3）求兩彎新月（圖中陰影部分）的面積，并求當(dāng)x為何值時(shí)，矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的

1

3

？

Answer 1

分析：（1）先解Rt△ABC，得出AC=12

3

米，BC=36米，∠ABC=30°，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出AD=

3

3

x，BE=

3

x，然后根據(jù)AD+DE+BE=AB，列出y與x之間的關(guān)系式，進(jìn)而求解即可；
（2）先根據(jù)矩形的面積公式得出DEFG的面積=xy，再將（1）中求出的y=24

3

-

4 3

3

x代入，得出矩形DEFG的面積=xy=-

4 3

3

x²+24

3

x，然后利用配方法寫(xiě)成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）先證明兩彎新月的面積=△ABC的面積，再根據(jù)三角形的面積公式求出兩彎新月的面積，然后根據(jù)矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的

1

3

列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=24

3

米，∠BAC=60°，
∴AC=

1

2

AB=12

3

米，BC=

3

AC=36米，∠ABC=30°，
∴AD=

DG

tan60°

=

3

3

x，BE=

EF

tan30°

=

3

x，
∵AD+DE+BE=AB，
∴

3

3

x+y+

3

x=24

3

，
∴y=24

3

-

3

3

x-

3

x=24

3

-

4 3

3

x，
即y與x之間的函數(shù)解析式為y=24

3

-

4 3

3

x（0＜x＜18）；

（2）∵y=24

3

-

4 3

3

x，
∴矩形DEFG的面積=xy=x（24

3

-

4 3

3

x）=-

4 3

3

x²+24

3

x=-

4 3

3

（x-9）²+108

3

，
∴當(dāng)x=9米時(shí)，矩形DEFG的面積最大，最大面積是108

3

平方米；

（3）記AC、BC、AB為直徑的半圓面積分別為S₁、S₂、S₃，兩彎新月面積為S，
則S₁=

1

8

πAC²，S₂=

1

8

πBC²，S₃=

1

8

πAB²，
∵AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃，
∴S₁+S₂-S=S₃-S_△ABC，
∴S=S_△ABC，
∴兩彎新月的面積S=

1

2

AC•BC=

1

2

×12

3

×36=216

3

（平方米）．
如果矩形DEFG的面積等于兩彎新月面積的

1

3

，
那么-

4 3

3

（x-9）²+108

3

=

1

3

×216

3

，
化簡(jiǎn)整理，得（x-9）²=27，
解得x=9±3

3

，符合題意．
所以當(dāng)x為（9±3

3

）米時(shí)，矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，其中涉及到矩形的性質(zhì)，解直角三角形，三角函數(shù)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．利用數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵．