Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊中，BC∥軸，且BC=，頂點(diǎn)A在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)．

（1）當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至與原點(diǎn)重合時(shí)，頂點(diǎn)C是否在該拋物線(xiàn)上？
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有可能被軸分成兩部分，當(dāng)上下兩部分的面積之比為1:8（即）時(shí)，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)頂點(diǎn)B落在坐標(biāo)軸上時(shí)，直接寫(xiě)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）在；（2）或；（3）、、

試題分析：（1）當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至與原點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)BC與y軸交于點(diǎn)D，由BC∥x軸，BC=AC=，可得，，即可得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線(xiàn)解析式即可作出判斷；
（2）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）．由根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得的長(zhǎng)，即可求得結(jié)果；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
（1）當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至與原點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)BC與y軸交于點(diǎn)D
∵BC∥x軸，BC=AC=，
∴，．
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為．
∵當(dāng)時(shí)，．
∴當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至與原點(diǎn)重合時(shí)，頂點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上；
（2）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）．
∵，
∴
∵等邊的邊長(zhǎng)為，
∴．
∴．
∴，解得．
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為或；
（3）當(dāng)頂點(diǎn)B落在坐標(biāo)軸上時(shí)，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為、、．
點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.