Question

【題目】已知:直線經(jīng)過點(diǎn)A(-5.-6)且與直線: y=-x+6平行,直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B，C

(1)求直線的表達(dá)式及其與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo):

(2)判斷四邊形ABCD是什么四邊形?并證明你的結(jié)論:

(3)若點(diǎn)E是直線AB上一點(diǎn),平面內(nèi)存在一點(diǎn)F,使得四邊形CBEF是正方形,求點(diǎn)E的坐標(biāo). 請(qǐng)直接寫出答案.

Answer 1

【答案】（1）直線l1的表達(dá)式：y＝x，D的坐標(biāo)為：（9，0）；（2）四邊形ABCD是矩形，證明見解析；（3）E1（2，4），E2（10，4）.

【解析】

（1）根據(jù)直線l1與直線平行，可設(shè)直線l1的表達(dá)式為：y＝x＋b，代入A（5，6）求出直線l1的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；

（2）首先根據(jù)題意求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出AD，BC，AB，BD，根據(jù)AD＝BC，AD∥BC先判定四邊形ABCD是平行四邊形，再利用勾股定理逆定理證明∠DAB＝90°即可；

（3）求出直線AB的解析式，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得EB＝BC＝，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式列方程求解，即可得到相應(yīng)的點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)直線l1的表達(dá)式為：y＝x＋b，

∵直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（5，6），

∴6＝×（5）＋b，解得b＝，

即直線l1的表達(dá)式是y＝x，

當(dāng)y＝0時(shí)，0＝x，解得x＝9，

即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（9，0）；

（2）四邊形ABCD是矩形，

證明：∵直線l2：y＝x＋6，直線l2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，6），

∵點(diǎn)A（5，6），點(diǎn)D（9，0），

∴AD＝，BC＝，

∴AD＝BC，

∵AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB＝，BD＝4（9）＝13，AD＝，

∴AB2＋AD2＝()2＋()2＝132＝BD2，

∴∠DAB＝90°，

∴平行四邊形ABCD是矩形；

（3）E1（2，4），E2（10，4），

∵點(diǎn)A（5，6），點(diǎn)B（4，0），

設(shè)直線A、B的解析式為y＝kx＋b，

則，解得：，

即直線AB的解析式為y＝x，

∵點(diǎn)E在直線AB上，

∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，a），

∵四邊形CBEF是正方形，點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，6），

∴EB＝BC＝，

∴，

解得：a＝2或a＝10，

當(dāng)a＝2時(shí)，a＝-4，

當(dāng)a＝10時(shí)，a＝4，

∴點(diǎn)E1（2，4），E2（10，4）．