Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），二次函數(shù)y=x2的圖象記為拋物線l1．

（1）平移拋物線l1，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，但不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．請(qǐng)寫出平移后拋物線的解析式（任寫一個(gè)即可）；

（2）平移拋物線l1，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，記為拋物線l2，求拋物線l2的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖2，設(shè)拋物線l2的頂點(diǎn)為C，K為y軸上一點(diǎn)．若S△ABK=S△ABC，求點(diǎn)K的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+1（2）（0，）或（0，）

【解析】

（1）可將拋物線b1向上平移，設(shè)平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式：y=x2+b，由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)題意可設(shè)拋物線b2的函數(shù)關(guān)系式為y=x2+bx+c，由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的解析式；

（3）首先根據(jù)題意求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求得△ABC的面積，然后分別從點(diǎn)K在A的上方與下方去分析求解，即可求得點(diǎn)K的坐標(biāo)．

解：（1）向上平移拋物線b1，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，

設(shè)平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式：y=x2+b，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），

∴2=1+b，

解得：b=1，

∴平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式：y=x2+1；

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），

∴32+1≠1，

∴平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式：y=x2+1；

故答案為：y=x2+1．

（2）設(shè)∵拋物線b2經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，

∴，

解得：，

∴拋物線b2的函數(shù)關(guān)系式為：y=x2﹣x+；

（3）∵y=x2﹣x+=（x﹣）2+，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，），

過(guò)點(diǎn)C作CG⊥y軸，BF⊥y軸，AE⊥y軸，

∴AE=1，BF=3，CG=，EF=2﹣1=1，F(xiàn)G=1﹣=，EG=2﹣=，

∴S△ABC=S梯形ABFE+S梯形BCGF﹣S梯形ACGE=（AE+BF）EF+（CG+BF）GF﹣（AE+CG）EG=，

若K在A點(diǎn)上方，坐標(biāo)為（0，y）

S△ABK=S△BNK﹣S△AMK﹣S梯形ABNM=BNNK﹣AMMK﹣（AM+BN）MN=×3×（y﹣1）﹣×1×（y﹣2）﹣×（1+3）×1=，

∵S△ABK=S△ABC，

∴=，

解得：y=，

則點(diǎn)K（0，）；

同理：若K在A的下方時(shí)，則點(diǎn)K（0，）；

∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（0，）或（0，）．