Question

（2011•沙洋縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn)于D，DE⊥AC．
（1）求證：△BAD∽△CED；
（2）求證：DE是⊙O的切線；
（3）若AE=1，AB=4，求AD的長．并計算出∠B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知及相似三角形的判定方法分析即可；
（2）連接OD，證OD⊥DE即可．
（3）可通過相似三角形ADE和ABD得出關(guān)于AE，AD，AB的比例關(guān)系求出AD的長，再在直角三角形ABD中用正弦函數(shù)求出∠B的度數(shù)．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∵BD=CD，
∴∠B=∠C．
∵∠CED=∠ADB=90°，
∴△BDA∽△CED．

（2）連接OD，
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．

（3）證明：∵∠AED=∠ADB=90°，BD=CD，AD⊥BC，
∴∠DAE=∠DAB．
∴△EAD∽△DAB．
∴．
∴DA²=AB•EA．
∴DA²=1×4．
∴AD=2．
在Rt△ADB中，∵AD=2，AB=4，
∴∠B=30°．
點(diǎn)評：本題主要考查了切線的判定，弦切角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．（3）中通過相似三角形得出線段間的比例關(guān)系進(jìn)而求出線段的長是解題的關(guān)鍵．