Question

如圖所示，菱形ABCD的頂點A、B在x軸上，點A在點B的左側，點D在y軸的正半軸上，∠BAD=60°，點A的坐標為（-2，0）．
（1）求線段AD所在直線的函數(shù)表達式；
（2）動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，按照A?D?C?B?A的順序在菱形的邊上勻速運動一周，設運動時間為t秒、求t為何值時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切．

Answer 1

（1）∵點A的坐標為（-2，0），∠BAD=60°，∠AOD=90°，
∴OD=OA•tan60°=2

3

，
∴點D的坐標為（0，2

3

），（1分）
設直線AD的函數(shù)表達式為y=kx+b，

-2k+b=0 b=2 3

，
解得

k= 3 b=2 3

．
∴直線AD的函數(shù)表達式為y=

3

x+2

3

．（3分）

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
AD=DC=CB=BA=4，（5分）
如圖所示：
①點P在AD上與AC相切時，
連接P₁E，則P₁E⊥AC，P₁E=r，
∵∠1=30°，
∴AP₁=2r=2，
∴t₁=2．（6分）
②點P在DC上與AC相切時，
CP₂=2r=2，
∴AD+DP₂=6，
∴t₂=6．（7分）
③點P在BC上與AC相切時，
CP₃=2r=2，
∴AD+DC+CP₃=10，
∴t₃=10．（8分）
④點P在AB上與AC相切時，
AP₄=2r=2，
∴AD+DC+CB+BP₄=14，
∴t₄=14，
∴當t=2、6、10、14時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切．（9分）