Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=5，BD=13，Rt△EFG的直角邊GE在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，E點(diǎn)與矩的B點(diǎn)重，∠FGE=90°，F(xiàn)G=3．將矩形ABCD固定，把Rt△EFG沿著射線(xiàn)BC方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F恰好經(jīng)過(guò)BD時(shí)，將△EFG繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α°＜90°），記旋轉(zhuǎn)中的△EFG為△E′F′G′，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)直線(xiàn)E′G′與直線(xiàn)BC交于N，與直線(xiàn)BD交于M點(diǎn)，當(dāng)△BMN為以MN為底邊的等腰三角形時(shí)，F(xiàn)M的長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：如圖，作BR平分∠DBC交CD于R，RT⊥BD垂足為T(mén)，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，∠C=90°，
∵BD=13，
∴BC= = =12，
在△BRT和△BRC中，
，
∴△BRT≌△BRC，
∴BT=BC=12，TD=1，設(shè)RT=RC=x，
在RT△RTD中，∵TD2+RT2=RD2 ，
∴x2+12=（5﹣X）2 ，
∴x= ，
∴BR= = = ，
∵BN=BM，
∴∠BMN=∠BNM，
∵∠DBC=∠BMN+∠BNM，∠RBD=∠RBC，
∴∠TBR=∠FMG′，
∵∠RTB=∠FG′M=90°，
∴△BTR∽△MG′F，
∴ ，
∴ ，
∴FM=3 ．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，需要了解①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段長(zhǎng)短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了才能得出正確答案．