Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形ABOD的邊長(zhǎng)為a，O為原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)D在y軸的正半軸上，直線OE的解析式為y=2x，直線CF過(guò)x軸上的一點(diǎn)C（-

3

5

a，0）且與OE平行，現(xiàn)正方形以每秒

a

10

的速度勻速沿x軸正方向平行移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，正方形被夾在直線OE和CF間的部分的面積為S．
（1）當(dāng)0≤t＜4時(shí)，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)4≤t≤5時(shí)，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，在這個(gè)范圍內(nèi)S有無(wú)最大值？若有，請(qǐng)求出最大值，若沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）易知BC=

2

5

a，根據(jù)時(shí)間的取值范圍和正方形的速度可知當(dāng)0≤t＜4時(shí)，B位于C點(diǎn)左側(cè)．那么重合部分的多邊形的面積可用平行四邊形的面積-△NPQ的面積來(lái)求解．可先求出P、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)△PNQ與△PDO相似，用相似比求出面積比，進(jìn)而得出△PNQ的面積．然后按上面所說(shuō)的多邊形的面積計(jì)算方法得出S，t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)4≤t≤5時(shí)，重合部分可用平行四邊形COPG的面積-△PNQ的面積-△CB1R的面積來(lái)求得．方法同（1），得出S，t的函數(shù)關(guān)系后，可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值．

解答：解：（1）當(dāng)0≤t＜4時(shí)，如圖1，由圖可知OM=

a

10

t，
設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后，正方形移動(dòng)到A₁B₁MN
∵當(dāng)t=4時(shí)，BB₁=OM=

a

10

×4=

2

5

a
∴點(diǎn)B₁在C點(diǎn)左側(cè)
∴夾在兩平行線間的部分是多邊形COQNG，其面積為：
平行四邊形COPG-△NPQ的面積．
∵CO=

3

5

a，OD=a
∴四邊形COPG面積=

3

5

a²
又∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為a，代入y=2x得P（

a

2

，a）
∴DP=

a

2

，NP=

a

2

-

a

10

t
由y=2x知：NQ=2NP
∴△NPQ面積=

1

2

•NP•NQ=（

a

2

-

a

10

t）²
∴S=

3

5

a²-（

a

2

-

a

10

t）²=

3

5

a²-

a2

100

（5-t）²=

a2

100

[60-（5-t）²]；

（2）當(dāng)4≤t≤5時(shí)，如圖2，這時(shí)正方形移動(dòng)到A₁B₁MN
∵當(dāng)4≤t≤5時(shí)，

2

5

a≤BB₁≤

1

2

a，點(diǎn)B₁在C、O點(diǎn)之間
∴夾在兩平行線間的部分是B₁OQNGR，
即平行四邊形COPG被切掉了兩個(gè)小三角形△NPQ和△CB₁R，其面積為：
平行四邊形COPG的面積-△NPQ的面積-△CB₁R的面積
與（1）同理，OM=

a

10

t，NP=

a

2

-

a

10

t，S_△NPQ=（

a

2

-

a

10

t）²，
∵CO=

3

5

a，CM=

3

5

a+

a

10

t，B₁M=a，
∴CB₁=CM-B₁M=

3

5

a+

a

10

t-a=

a

10

t-

2

5

a，
∴S△CB₁R=

1

2

CB₁•B₁R=（CB₁）²=（

a

10

t-

2

5

a）2，
∴S=

3

5

a²-（

1

2

a-

a

10

t）²-（

a

10

t-

2

5

a）²=

3

5

a²-

a2

100

[2（t-

9

2

）²+

1

2

]，
∴當(dāng)t=

9

2

時(shí)，S有最大值，Smax=

119

200

a²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)與相似三角形、平行四邊形、正方形、圖形的面積求法等知識(shí)的綜合運(yùn)用．