Question

如圖，直線l₁，l₂，l₃相交于點(diǎn)A、B、C，得到△ABC，其中∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)O在線段AC上，且OA=2OC，將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到△A₁B₁C₁，當(dāng)點(diǎn)A₁落在這三條直線上時(shí)，線段AA₁長是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用勾股定理列式求出AB的長，然后求出OA、OC，再分①點(diǎn)A₁在直線l₁上時(shí)，先利用勾股定理列式求出A₁C，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；②點(diǎn)A₁在直線l₂上時(shí)，根據(jù)AA₁=2OA計(jì)算即可得解；③點(diǎn)A₁在直線l₃上時(shí)，過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出AD，再根據(jù)等腰三角形三線合一可得AA₁=2AD，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．
解答：解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
∵OA=2OC，
∴OA=6×=4，OC=6×=2，
①如圖1，點(diǎn)A₁在直線l₁上時(shí)，
在Rt△A₁OC中，A₁C===2，
在Rt△AA₁C中，AA₁===4；

②如圖2，點(diǎn)A₁在直線l₂上時(shí)，AA₁=OA+OA₁=2OA=2×4=8；

③如圖3，點(diǎn)A₁在直線l₃上時(shí)，過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，
∵OA=OA₁，
∴AA₁=2AD，
易得△AOD∽△ABC，
∴=，
即=，
解得AD=2.4，
∴AA₁=2AD=2×2.4=4.8；
綜上所述，線段AA₁長是4.8或8或4．
故答案為：4.8或8或4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．