Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一個(gè)外角．

實(shí)驗(yàn)與操作：根據(jù)要求進(jìn)行尺規(guī)作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（1）作∠DAC的平分線(xiàn)AM；

（2）作線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，與AM交于點(diǎn)F，與BC邊交于點(diǎn)E，連接AE、CF

探究與猜想：若∠BAE=36°，求∠B的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）48°

【解析】試題分析：

（1）以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧交AD、AC于兩點(diǎn)，再分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)間的距離的一半為半徑作弧，兩弧交于一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作射線(xiàn)AM，則射線(xiàn)AM為所求角平分線(xiàn)；

（2）分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于AC的一半為半徑作弧，兩弧在AC的兩側(cè)各交于一點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)作直線(xiàn)，角AM于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，則直線(xiàn)EF為AC的垂直平分線(xiàn)；連接CF，由已知條件先證∠CAM=∠ACB，再證△AOF≌△COE，由此可得OE=OF，從而可得四邊形AECF是菱形，即可得到AE=CE，進(jìn)一步可得∠EAC=∠ACB=∠B結(jié)合∠BAE=36°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得到∠B==48°.

試題解析：

（1）如下圖，圖中射線(xiàn)AM為所求角平分線(xiàn)：

（2）如下圖所示，直線(xiàn)EF為AC的垂直平分線(xiàn)，連接CF，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵AM平分∠DAC，

∴∠DAM=∠CAM，

而∠DAC=∠ABC+∠ACB，

∴∠CAM=∠ACB，

∴EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOF=∠COE，

在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE，

∴OF=OE，即AC和EF互相垂直平分，

∴四邊形AECF的形狀為菱形．

∴EA=EC，

∴∠EAC=∠ACB=∠B==48°，

∴∠B=48°.