Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，點E，F分別是BC，AC的中點.

(1)求證：DF⊥DE.

(2)若AC=8，BC=6，求EF的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)EF=5.

【解析】

(1)利用垂直的定義，可得△CDB和△ADC是直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證得DF=AF，DE=BE，再利用等邊對等角，易證∠A=∠ADF，∠EDB=∠B，然后證明∠EDF=90°，即可得出結(jié)論；

(2) 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求出DE，DF的長，再利用勾股定理求出EF的長.

(1)∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠CDB=90°，

∵點E、F分別是BC、AC的中點，

∴DF=AF，DE=BE，

∴∠A=∠ADF，∠EDB=∠B，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠ADF+∠EDB=90°，

∴∠EDF=90°，即DF⊥DE；

(2)∵AC=8，BC=6，

∴DF=4，DE=3，

∴EF==5.