Question

【題目】如圖，點M是正方形ABCD內一點，△MBC是等邊三角形，連接AM、MD．對角線BD交CM于點N，現有以下結論：①∠AMD＝150°；②MA2＝MNMC；③；④，其中正確的結論有____（填寫序號）．

Answer 1

【答案】①②③④．

【解析】

①先根據等邊三角形得∠CMB＝60°，再根據等腰三角形的性質得∠AMB＝∠CMD＝75°，最后根據周角的定義可得結論；

②證明△MND∽△MDC，列比例式可得結論；

③如圖1，作輔助線，設NH＝x，根據平行線分線段成比例定理得結論．

④如圖2，設MG＝x，根據直角三角形30度角的性質和勾股定理分別計算BC、AG、BG的長，根據面積公式計算可得結論；

∵△MBC是等邊三角形，

∴∠MBC＝∠MCB＝∠CMB＝60°，BM＝BC，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，

∴∠ABM＝∠DCM＝30°，

∵AB＝BM，

∴∠AMB＝∠BAM＝（180°﹣30°）＝75°，

同理∠CMD＝∠CDM＝75°，

∴∠AMD＝360°﹣75°﹣75°﹣60°＝150°；

故①正確；

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BDC＝45°，

∴∠MDN＝∠CDM﹣∠BDC＝75°﹣45°＝30°，

∵∠CMD＝∠CMD，∠MDN＝∠DCM＝30°，

∴△MND∽△MDC，

∴＝，

∴DM2＝MNMC，

∵∠BAD＝∠ADC，∠BAM＝∠CDM，

∴∠MAD＝∠MDA，

∴MA＝DM，

∴MA2＝MNMC，

故②正確；

過N作NH⊥CD于H，設NH＝x，如圖1所示：

則NH⊥BC，∠NDH＝∠DNH＝45°，

∴NH＝DH＝x，

∵∠NCH＝30°，∠CHN＝90°

∴CN＝2x，CH＝x，

∵NH∥BC，

∴＝＝＝，

故③正確；

過M作MG⊥AB于G，如圖2所示：

設MG＝x，

Rt△BGM中，∠GBM＝30°，

∴BM＝BC＝AB＝2x，BG＝x，

∴AG＝2x﹣x，

∴＝＝＝＝，

故④正確；

故答案為：①②③④．