Question

如圖，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=（x＞0）的圖象交于點P（n，2），與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點C，PB⊥x軸于點B，且AC=BC．
（1）求一次函數、反比例函數的解析式；
（2）反比例函數圖象上是否存在點D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點D的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（1）一次函數解析式為y=x+1，反比例解析式得：m=8，即反比例解析式為y=；
（2）反比例函數圖象上存在點D，使四邊形BCPD為菱形，此時D坐標為（8，1）．

試題分析：（1）由AC=BC，且OC垂直于AB，利用三線合一得到O為AB中點，求出OB的長，確定出B坐標，將P與B坐標代入一次函數解析式求出k與b的值，確定出一次函數解析式，將P坐標代入反比例解析式求出m的值，即可確定出反比例解析式；
（2）假設存在這樣的D點，使四邊形BCPD為菱形，如圖所示，由一次函數解析式求出C坐標，得出直線BC斜率，求出過P且與BC平行的直線PD解析式，與反比例解析式聯立求出D坐標，檢驗得到四邊形BCPD為菱形，符合題意．
試題解析：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O為AB的中點，即OA=OB=4，
∴P（4，2），B（4，0），
將A（﹣4，0）與P（4，2）代入y=kx+b得：，
解得：k=，b=1，
∴一次函數解析式為y=x+1，
將P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式為y=；
（2）假設存在這樣的D點，使四邊形BCPD為菱形，如圖所示，

對于一次函數y=x+1，令x=0，得到y(tǒng)=1，即C（0，1），
∴直線BC的斜率為=﹣，
設過點P，且與BC平行的直線解析式為y﹣2=﹣（x﹣4），即y=，
與反比例解析式聯立得：，
消去y得：=，
整理得：x²﹣12x+32=0，即（x﹣4）（x﹣8）=0，
解得：x=4（舍去）或x=8，
當x=8時，y=1，
∴D（8，1），
此時PD=，BC=，即PD=BC，
∵PD∥BC，
∴四邊形BCPD為平行四邊形，
∵PC=，即PC=BC，
∴四邊形BCPD為菱形，滿足題意，
則反比例函數圖象上存在點D，使四邊形BCPD為菱形，此時D坐標為（8，1）．