Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知點(diǎn)A（-，0），點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B是x軸上一點(diǎn)（位于點(diǎn)A的右側(cè)），以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（1）求∠ACB的度數(shù)；
（2）已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，求拋物線(xiàn)的解析式；
（3）線(xiàn)段BC上是否存在點(diǎn)D，使△BOD為等腰三角形？若存在，則求出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可以得到∠ACB的度數(shù)．
（2）利用三角形相似求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)求出拋物線(xiàn)的解析式．
（3）分別以O(shè)B為底邊和腰求出等腰三角形中點(diǎn)D的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò) 點(diǎn)C，
∴∠ACB=90°．

（2）∵△AOC∽△COB，
∴OC²=AO•OB，
∵A（-，0），點(diǎn)C（0，3），
∴，OC=3，
又∵CO²=AO•OB，
∴，
∴OB=4，
∴B（4，0）把 A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入得．

（3）①OD=DB，如圖：
D在OB 的中垂線(xiàn)上，過(guò)D作DH⊥OB，垂足是H，則H是OB中點(diǎn)．
Ⅴ
DH=，，
∴D，

②BD=BO，如圖：
過(guò)D作DG⊥OB，垂足是G，
∴==，
∵OB=4，CB=5，
∴BD=OB=4，
∴=，
∴==，
∴BG=，DG=，
∴OG=BO-BG=，
∴D（，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，（1）根據(jù)圓周角的性質(zhì)求出角的度數(shù)．（2）用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式．（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)確定點(diǎn)D的坐標(biāo)．