Question

已知如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一，二，三象限，且與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OB=

10

，tan∠DOB=

1

3

（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，△ABO的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當(dāng)△OCD的面積等于

S

2

，試判斷過A、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長能否等于3？如果能，求此時拋物線的解析式；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)tan∠DOB=

1

3

可知Rt△OHB中兩直角邊的比，又因?yàn)镺B=10，所以可根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出解析式；
（2）已知A點(diǎn)橫坐標(biāo)m，代入反比例函數(shù)解析式，可求出A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)OB=

10

和tan∠DOB=

1

3

，可利用勾股定理求出B點(diǎn)坐標(biāo)；
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)y=k₂x+b的解析式，解方程組得到k₂和b的值（用m表示），然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，即得出OC的長，再求出以O(shè)C為底邊，以A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值為高的兩個三角形△OCA和△COB的面積之和；
（3）設(shè)出拋物線解析式，將B（-3，-1），A（1，3）分別代入解析式，求出b的值以及a、c的關(guān)系式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解答．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，在Rt△OHB中，
∵tan∠HOB=

BH

HO

=

1

3

，
∴HO=3BH，
由勾股定理得，BH²+HO²=OB²，
又∵OB=

10

，
∴BH²+（3BH）²=（

10

）²，
∵BH＞0，
∴BH=1，HO=3，
∴點(diǎn)B（-3，-1），
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k1

x

（k₁≠0），
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，∴k₁=3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

．

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=k₂x+b（k₂≠0），由點(diǎn)A在第一象限，得m＞0，
又有點(diǎn)A在函數(shù)y=

3

x

的圖象上，可求得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為（m，

3

m

）．
因?yàn)閠an∠DOB=

1

3

，OB=

10

，
設(shè)BH=a，則HO=3a，
于是根據(jù)勾股定理，a²+9a²=10，
解得a=±1，
則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-1）．
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入解析式得：

-3k+b=-1 mk+b= 3 m

，
解得k=

1

m

，b=

3-m

m

，
函數(shù)解析式為y=

1

m

x+

3-m

m

，
得C（0，

3-m

m

）．
于是S=

3-m

m

（m+3）×

1

2

=

9-m2

2m

，
于是0＜m＜3．

（3）A、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長能等于3，
設(shè)過B（-3，-1），A（1，3）的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
可得

9a-3b+c=-1 a+b+c=3

，
解得b=2a+1，c=2-3a，
又因?yàn)锳、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長等于3，
所以設(shè)A（x₁，0），（x₂，0），x₂＞x₁，
可得x₂-x₁=3，兩邊平方得（x₂+x₁）²-4x₁x₂=9，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系（-

b

a

）²-4•

c

a

=9，將c=2-3a，b=2a+1代入，
得7a²-4a+1=0，
∵△=16-4×7=-12＜0，
∴過A、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3．

點(diǎn)評：此題將一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)結(jié)合起來，有很強(qiáng)的綜合性．根據(jù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)能求出相應(yīng)線段的長，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答．