Question

【題目】如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；

（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ． (2) (3)

【解析】【試題分析】（1）在直角三角形BCO中利用三角函數(shù)求解；（2）知道拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)，設(shè)成交點(diǎn)式求解；（3）拋物線的對稱軸是直線x＝2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, y)．

分三種情況討論：①當(dāng)OP＝OB＝4時，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．

②當(dāng)BP＝BO＝4時，BP2＝16．所以．解得．

③當(dāng)PB＝PO時，PB2＝PO2．所以．解得．故求.

【試題解析】

（1）如圖1，過點(diǎn)B作BC⊥y軸，垂足為C．

在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2， ．

所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

（2）因?yàn)閽佄锞�與x軸交于O、A(4, 0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，

代入點(diǎn)B， ．解得．

所以拋物線的解析式為．

（3）拋物線的對稱軸是直線x＝2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, y)．

①當(dāng)OP＝OB＝4時，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．

當(dāng)P在時，B、O、P三點(diǎn)共線（如圖1）．

②當(dāng)BP＝BO＝4時，BP2＝16．所以．解得．

③當(dāng)PB＝PO時，PB2＝PO2．所以．解得．

綜合①、②、③，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，如圖2所示．