Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D.

(1)以AB邊上一點O為圓心，過A、D兩點作⊙O(不寫作法，保留作圖痕跡)，再判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若(1)中的⊙O與AB邊的另一個交點為E，AB＝6，BD＝2 ，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積(結(jié)果保留根號和π)．

Answer 1

解：(1)如圖 (需保留線段AD中垂線的痕跡)．

直線BC與⊙O相切．理由如下：

連接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.

∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC.

∴∠ODA＝∠DAC.

∴OD∥AC.

∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC.

又∵直線BC過半徑OD的外端，

∴BC為⊙O的切線．

(2)設(shè)OA＝OD＝r，

在Rt△BDO中，OD²＋BD²＝OB²，

∴r²＋(2 )²＝(6－r)²，解得r＝2.

∵tan∠BOD＝＝，∴∠BOD＝60°.

∴S_扇形ODE＝＝π.

∴所求圖形面積為S_△BOD－S_扇形ODE＝2 －π.