Question

（2012•深圳）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-2x+b（b≥0）的位置隨b的不同取值而變化．
（1）已知⊙M的圓心坐標(biāo)為（4，2），半徑為2．
當(dāng)b=

10

時(shí)，直線l：y=-2x+b（b≥0）經(jīng)過圓心M；
當(dāng)b=

10±2

5

時(shí)，直線l：y=-2x+b（b≥0）與⊙M相切；
（2）若把⊙M換成矩形ABCD，其三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．設(shè)直線l掃過矩形ABCD的面積為S，當(dāng)b由小到大變化時(shí)，請(qǐng)求出S與b的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）①當(dāng)直線經(jīng)過圓心M（4，2）時(shí)，將圓心坐標(biāo)代入直線解析式，即可求得b的值；
②當(dāng)若直線與⊙M相切，如答圖1所示，應(yīng)有兩條符合條件的切線，不要遺漏．
欲求此時(shí)b的值，可以先求出切點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入解析式即可；欲求切點(diǎn)P的坐標(biāo)，可以構(gòu)造相似三角形△PMN∽△BAO，求得PN=2MN，然后在Rt△PMN中利用勾股定理求出MN和PN，最后求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）本問關(guān)鍵是弄清直線掃過矩形ABCD的運(yùn)動(dòng)過程，可以分為五個(gè)階段，分別求出每一階段S的表達(dá)式，如答圖2-4所示．

解答：解：（1）①直線l：y=-2x+b（b≥0）經(jīng)過圓心M（4，2）時(shí)，則有：2=-2×4+b，∴b=10；
②若直線l：y=-2x+b（b≥0）與⊙M相切，如答圖1所示，應(yīng)有兩條符合條件的切線．
設(shè)直線與x軸、y軸交于A、B點(diǎn)，則A（

b

2

，0）、B（0，b），∴OB=2OA．
由題意，可知⊙M與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為D，連接MD；
設(shè)直線與⊙M的一個(gè)切點(diǎn)為P，連接MP并延長交x軸于點(diǎn)G；
過P點(diǎn)作PN⊥MD于點(diǎn)N，PH⊥x軸于點(diǎn)H．
易證△PMN∽△BAO，
∴PN：MN=OB：OA=2：1，
∴PN=2MN．
在Rt△PMN中，由勾股定理得：PM²=PN²+MN²，解得：MN=

2

5

5

，PN=

4

5

5

，
∴PH=ND=MD-MN=2-

2

5

5

，OH=OD-HD=OD-PN=4-

4

5

5

，
∴P（4-

4

5

5

，2-

2

5

5

），代入直線解析式求得：b=10-2

5

；
同理，當(dāng)切線位于另外一側(cè)時(shí)，可求得：b=10+2

5

．

（2）由題意，可知矩形ABCD頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）．
由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)b由小到大變化時(shí)，直線l：y=-2x+b（b≥0）向右平移，依次掃過矩形ABCD的不同部分．
可得當(dāng)直線經(jīng)過A（2，0）時(shí)，b=4；當(dāng)直線經(jīng)過D（2，2）時(shí)，b=6；當(dāng)直線經(jīng)過B（6，0）時(shí)，b=12；當(dāng)直線經(jīng)過C（6，2）時(shí)，b=14．
①當(dāng)0≤b≤4時(shí)，S=0；
②當(dāng)4＜b≤6時(shí)，如答圖2所示．
設(shè)直線l：y=-2x+b與x軸交于點(diǎn)P，與AD交于點(diǎn)Q．
令y=0，可得x=

b

2

，∴AP=

b

2

-2；
令x=2，可得y=b-4，∴AQ=b-4．
∴S=S_△APQ=

1

2

AP•AQ=

1

2

（

b

2

-2）（b-4）=

1

4

b²-2b+4；
③當(dāng)6＜b≤12時(shí)，如答圖3所示．
設(shè)直線l：y=-2x+b與x軸交于點(diǎn)P，與CD交于點(diǎn)Q．
令y=0，可得x=

b

2

，∴AP=

b

2

-2；
令y=2，可得x=

b

2

-1，∴DQ=

b

2

-3．
S=S_梯形APQD=

1

2

（DQ+AP）•AD=b-5；
④當(dāng)12＜b≤14時(shí)，如答圖4所示．
設(shè)直線l：y=-2x+b與BC交于點(diǎn)P，與CD交于點(diǎn)Q．
令x=6，可得y=b-12，∴BP=b-12，CP=14-b；
令y=2，可得x=

b

2

-1，∴DQ=

b

2

-3，CQ=7-

b

2

．
S=S_矩形ABCD-S_△PQC=8-

1

2

CP•CQ=-

1

4

b²+7b-41；
⑤當(dāng)b＞14時(shí)，S=S_矩形ABCD=8．
綜上所述，當(dāng)b由小到大變化時(shí)，S與b的函數(shù)關(guān)系式為：
S=

0(0≤b≤4) 1 4 b2-2b+4(4＜b≤6) b-5(6＜b≤12) - 1 4 b2+7b-41(12＜b≤14) 8(b＞14)

．

點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)線型壓軸題，綜合考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圓的切線性質(zhì)、相似三角形、矩形、梯形、勾股定理以及圖形面積等重要知識(shí)點(diǎn)，涉及的考點(diǎn)較多，難度較大，對(duì)同學(xué)們的解題能力提出了很高的要求．本題的難點(diǎn)在于：（I）第（1）②問中，圓的切線有兩條，容易遺漏．求切點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)候，注意運(yùn)用相似關(guān)系化簡(jiǎn)運(yùn)算；（II）第（2）問中，動(dòng)直線的運(yùn)動(dòng)過程分析是難點(diǎn)，注意劃分為五個(gè)階段，分別求出每個(gè)階段S的表達(dá)式．