Question

已知拋物線y=x²與動(dòng)直線y=（2t-1）x-c有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且

x

2 1

+

x

2 2

=2t2+2t+3．
（1）求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，c取到最小值，并求出c的最小值．

Answer 1

分析：（1）將拋物線解析式與直線解析式聯(lián)立組成方程組，消去y得到關(guān)于x的方程，根據(jù)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得到根的判別式大于0，列出關(guān)于t的不等式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，將已知等式變形后用t表示出c，代入不等式中得到關(guān)于t的一元一次不等式，求出不等式的解集即可得到t的范圍；
（2）由表示出的c，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出c的最小值，以及此時(shí)t的值．

解答：解：（1）聯(lián)立得：

y=x2 y=(2t-1)x-c

，
消去y得：x²-（2t-1）x+c=0，
根據(jù)題意得：△=（2t-1）²-4c＞0①，x₁+x₂=2t-1，x₁x₂=c，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2t-1）²-2c=2t²+2t+3，
整理得：c=t²-3t-1，
代入①得：（2t-1）²-4（t²-3t-1）＞0，
整理得：4t²-4t+1-4t²+12t+4＞0，即8t＞-5，
解得：t＞-

5

8

；
（2）∵c=t²-3t-1=（t-

3

2

）²-

13

4

，
∴當(dāng)t=

3

2

時(shí)，c取最小值，最小值為-

13

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：根的判別式，兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，根與系數(shù)的關(guān)系，一元一次不等式的解法，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．