Question

【題目】如圖所示, 中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圓，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=1，連接DA，點(diǎn)P是射線DA上的動(dòng)點(diǎn)。

(1)求證DA是⊙O的切線；

(2)DP的長(zhǎng)度為多少時(shí)，∠BPC的度數(shù)最大，最大度數(shù)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由。

(3)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，（PB+PC）的值能否達(dá)到最小，若能，求出這個(gè)最小值，若不能，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；90°；（3）

【解析】試題分析：(1)、連接AO，根據(jù)題意得出△ABO為等邊三角形，從而得出∠DAO為直角，從而得出切線；(2)、根據(jù)圓外角小于圓周角得出點(diǎn)P的位置；(3)、作點(diǎn)C關(guān)于射線DA的對(duì)稱點(diǎn)，則,當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)， 的值達(dá)到最小，.過(guò)點(diǎn)作DC的垂線，垂足記為點(diǎn)H，連接，根據(jù)勾股定理的性質(zhì)求出最小值，得出答案.

試題解析：(1)、連接AO，易知：

⊙o的切線；

(2)、當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到A處時(shí)，即時(shí)， 的度數(shù)達(dá)到最大，為.

理由如下：若點(diǎn)P不在A處時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上的時(shí)，

連接BP，與⊙o交于一點(diǎn)，記為點(diǎn)E，連接CE，則.

(3)、作點(diǎn)C關(guān)于射線DA的對(duì)稱點(diǎn)，則,當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)， 的值達(dá)到最小，最小為.過(guò)點(diǎn)作DC的垂線，垂足記為點(diǎn)H，連接，

在所以為等邊三角形，故H為DC的中點(diǎn)，

， ，

由勾股定理求出所以的最小值為.