Question

已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點E，CG是⊙O的切線交AB的延長線于點G，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．
（1）試問：CG∥AD嗎？說明理由；
（2）證明：點E為OB的中點．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)知CG⊥CF，再由已知條件CF⊥AD，可以根據(jù)在同一平面內(nèi)，同時垂直于同一條直線的兩條直線互相平行判定CG∥AD；
（2）證法一：連接AC構(gòu)建等邊三角形ACD，然后根據(jù)等邊三角形的“三合一”、三個內(nèi)角都是60°的性質(zhì)推知∠FCD=30°；最后利用垂徑定理和30°的直角邊是斜邊的一半求得OE=

1

2

OB，即點E為OB的中點；
證法二：連接BD構(gòu)建平行線CF∥BD，從而易得△BDE∽△OCE；然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例、垂徑定理可以求得

BE

OE

=

ED

CE

=1．

解答：解：（1）CG∥AD，理由如下：
∵CG是⊙O的切線，OC是⊙O的半徑，
∴CG⊥CF；
又∵CF⊥AD，
∴CG∥AD（同一平面內(nèi)，同時垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）；

（2）證法一：
證明：如圖（1），連接AC，
∵CF⊥AD，AE⊥CD，
且CF、AE過圓心O，

AC

=

AD

，

CD

=

AC

，
∴AC=AD=CD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠D=60°，
∴∠FCD=30°；                  
在Rt△COE中，OE=

1

2

OC，
∴OE=

1

2

OB，
∴點E為OB的中點；

證法二：
證明：如圖（2），連接BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°；
又∠AFO=90°，
∴∠ADB=∠AFO，∴CF∥BD，
∵△BDE∽△OCE，
∴

BE

OE

=

ED

CE

，
∵AE⊥CD，且AE過圓心O，
∴ED=CE，
∴

BE

OE

=

ED

CE

=1，即BE=OE，
∴點E為OB的中點．

點評：本題綜合考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理已經(jīng)垂徑定理．解答（1）時，借用了“同一平面內(nèi)，同時垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”這一平行線的判定定理．