Question

13．測(cè)量建筑物的高度

在《相似》和《銳角三角函數(shù)》的學(xué)習(xí)中，我們了解了借助太陽(yáng)光線、利用標(biāo)桿、平面鏡等可以測(cè)量建筑物的高度．綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)王老師讓同學(xué)制作了一種簡(jiǎn)單測(cè)角儀：把一根細(xì)線固定在量角器的圓心處，細(xì)線的另一端系一個(gè)重物（如圖1）；將量角器拿在眼前，使視線沿著量角器的直徑剛好看到需測(cè)量物體的頂端，這樣可以得出需測(cè)量物體的仰角α的度數(shù)（如圖2，3）．利用這種簡(jiǎn)單測(cè)角儀，也可以幫助我們測(cè)量一些建筑物的高度．天壇是世界上最大的祭天建筑群，1998年被確認(rèn)為世界…文化遺產(chǎn)．它以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕ㄖ�分布，奇特的建筑�?gòu)造和瑰麗的建筑裝飾聞名于世．祈年殿是天壇主體建筑，又稱祈谷殿（如圖4）．采用的是上殿下屋的構(gòu)造形式，殿為圓形，象征天圓；瓦為藍(lán)色，象征藍(lán)天．祈年殿的殿座是圓形的祈谷壇．請(qǐng)你利用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案，解決“測(cè)量天壇祈年殿的高度”的問(wèn)題．要求：
（1）寫(xiě)出所使用的測(cè)量工具；
（2）畫(huà)出測(cè)量過(guò)程中的幾何圖形，并說(shuō)明需要測(cè)量的幾何量；
（3）寫(xiě)出求天壇祈年殿高度的思路．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)正切的概念解答即可．

解答 解：（1）測(cè)量工具有：簡(jiǎn)單測(cè)角儀，測(cè)量尺；
（2）設(shè)CD表示祈年殿的高度，測(cè)量過(guò)程的幾何圖形如圖所示；
需要測(cè)量的幾何量如下：
①在點(diǎn)A，點(diǎn)B處用測(cè)角儀測(cè)出仰角α，β；
②測(cè)出A，B兩點(diǎn)之間的距離s；
（3）設(shè)CD的高度為x m．
在Rt△DBC中，$BC=\frac{x}{tanβ}$，
在Rt△DAC中，$AC=\frac{x}{tanα}$，
∵AB=AC-BC，
∴$s=\frac{x}{tanα}-\frac{x}{tanβ}$，
解得，x=$\frac{s•tanα•tanβ}{tanβ-tanα}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．