Question

如圖，在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上，AF=40m，AE=30m．
（1）如果設(shè)矩形的一邊AB=x m，那么AD邊的長度如何表示？
（2）設(shè)矩形的面積為y m²，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質(zhì)可知：DC∥AF，所以△EDC∽△EAF，相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可得到AD和AB的關(guān)系，
（2）利用（1）中的關(guān)系式進(jìn)而可表示出矩形面積，再利用配方法，求出最大值即可．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，DC∥AF，
∵AF=40m，AE=30m，AB=xm，
∴CD=xm，
∵CD∥AF，
∴△EDC∽△EAF，
∴

CD

AF

=

ED

AE

，
∴

x

40

=

DE

30

，
∴DE=

3

4

x，
∴AD=30-

3

4

x；

（2）∵矩形鐵皮的面積：
y=AD×AB=x×（30-

3

4

x）=-

3

4

（x-20）²+300（0＜x＜40），
∴x=20時(shí)，最大面積y為300m²．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)模型的構(gòu)建以及相似三角形的性質(zhì)與判定等知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用配方法求函數(shù)的最值．