Question

【題目】拋物線y=x2+4ax+b與x軸相交于O、A兩點（其中O為坐標原點），過點P（2，2a）作直線PM⊥x軸于點M，交拋物線于點B，點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C（其中B、C不重合），連接AP交y軸于點N，連接BC和PC．
（1）a= 時，求拋物線的解析式和BC的長；
（2）如圖a＜﹣1時，若AP⊥PC，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a= 時，

∴拋物線為：y=x2+6x+b，

∴對稱軸為x=﹣3，

又∵拋物線過原點，

∴b=0，

∴y=x2+6x，

∴令x=2代入y=x2+6x，

∴y=16，

∴B（2，16），

∵點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C，

∴C（﹣8，16），

∴BC=2﹣（﹣8）=10

（2）解：由于拋物線過原點O，

∴b=0，

∴y=x2+4ax，

令x=2代入y=x2+4ax，

∴y=4+8a，

∴B（2，4+8a），

∵∵點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C，

拋物線的對稱軸為x=﹣2a，

∴C（﹣4a﹣2，4+8a），

∵O與A關(guān)于x=﹣2a對稱，

∴A（﹣4a，0），

∴BC=﹣4a﹣2﹣2=﹣4a﹣4，

∵P（2，2a），

∴M（2，0），

∴PM=0﹣2a=﹣2a，AM=﹣4a﹣2，

BP=2a﹣（4+8a）=﹣4﹣6a，

∵AP⊥PC，

∴∠APM=∠PCB，

∴△AMP∽△BPC，

∴ ，

∴ = ，

∴a=﹣2 ，

∵a＜﹣1，

∴a=﹣2﹣

【解析】（1）令a= 代入拋物線，由于拋物線過原點，所以b=0，從而求出拋物線的解析式，然后根據(jù)條件求出點B與C的坐標即可求出BC的長度．（2）由題意可知b=0，然后根據(jù)P的坐標分別求出A、B、C、M的坐標，進而求出BC、BP、PM、AM的長度，最后利用△AMP∽△BPC列出關(guān)于a的方程即可求出a的值．
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)圖象以及系數(shù)a、b、c的關(guān)系和拋物線與坐標軸的交點，掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上; a<0時，拋物線開口向下b與對稱軸有關(guān)：對稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，c）；一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．即可以解答此題．